प्रश्नावली 1 (J)
प्रश्न 1. निम्नलिखित में से परिमेय संख्याएँ छाँटकर लिखिए :
$\sqrt{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{22}{7}, 3 \sqrt{4}, \sqrt{4 \frac{1}{4}}$ और $2.33$
हल : $\sqrt{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{22}{7}, 3 \sqrt{4}, \sqrt{4} \frac{1}{4}$ और $2.33$ में परिमेय संख्या $=3 \sqrt{4,2 \cdot 33}, \frac{\pi}{3}, \frac{22}{7}$
प्रश्न 2. $\sqrt{4}, \sqrt{4,4}, 5$ में अपरिमेय संख्या बताओ ।
हल : $\sqrt{4,} \sqrt{4,4}, 5$ में अपरिमेय संख्या
$=\sqrt{\cdot 4}$
प्रश्न 3. निम्नलिखित' संख्याओं में परिमेय संख्याएँ छाँटिए :
$\sqrt{3,14.03737 \ldots . ., \sqrt{1,}(\pi+4)}$
हल : $\sqrt{3}, 14.03737 \ldots \ldots, \sqrt{1,(\pi+4)}$ में परिमेय संख्या $=\sqrt{1,14}-03737, \ldots, \pi+4$.
प्रश्न 4. निम्नलिखित में परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ छाँटिए :
$(4-\sqrt{3}), \frac{\sqrt{7}}{2},(5-\sqrt{4)}, \sqrt{0 \cdot 01}$
हल : $(4-\sqrt{3}), \frac{\sqrt{7}}{2},(5-\sqrt{4)}, \sqrt{0.01}$ में परिमेय संख्याएँ $=(5-\sqrt{4)}, \sqrt{0.01}$ अपरिमेय संख्याएँ $=\left(4-\sqrt{3)}, \frac{\sqrt{7}}{2}\right.$.
प्रश्न 5. $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{9}, \sqrt{15}$ में परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए ।
हल : $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{9}, \sqrt{15}$ में परिमेय संख्या $=\sqrt{9}^{-}$
प्रश्न 6. $\sqrt{7}, \sqrt{11}, \sqrt{16}, \sqrt{19,} \sqrt{23}$ में परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए ।
हल $: \sqrt{7}, \sqrt{11}, \sqrt{16}, \sqrt{19,} \sqrt{23}$ में परिमेय संख्या $=\sqrt{16 .}$
प्रश्न 7. $\sqrt{4}, \sqrt{3,} \sqrt{5}, \sqrt{9,} \sqrt{16}$ में परिमेय संख्याएँ बताइए ।
हल : $\sqrt{4}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{9}, \sqrt{16}$ में परिमेय संख्या $=\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}$.
प्रश्न 8. $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$, $\sqrt{\frac{4}{9}, \sqrt{7}}, \sqrt{\cdot 9}$ में से परिमेय संख्या छाँटकर लिखिए ।
हल : $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{\frac{4}{9} \sqrt{7}} \overline{7}, \sqrt{9}$ में परिमेय संख्या $=\sqrt{\frac{4}{9} \text {. }}$
प्रश्न 9. बताइये कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्यायें परिमेय और कौन-कौन संख्यायें अपरिमेय. हैं।
(i) $\sqrt{23}$
(ii) $\sqrt{225}$
(iii) $\mathbf{0}-3796$
(iv) 7.478478...
(v) $1 \cdot 101001000100001$
हल : (i) $\sqrt{23}$ अभाज्य संख्या होने के कारण अपरिमेय है क्योंकि अभाज्य संख्या एक पूर्ण की संख्या नहीं होती है।
(ii) $\sqrt{225}=\sqrt{3 \times 3 \times 5 \times 5=} 3 \times 5=15$
अत: $\sqrt{225}=15$ एक परिमेय संख्या है।
(iii) $0.3796$ एक सांत दशमलव संख्या है । अतः $0.3796$ एक परिमेय संख्या है।
(iv) 7.478478... यह एक आवर्ती है लेकिन पुनरावृत्ति है । अत : यह एक परिमेय संख्या है।
(v) 1.101001000100001... यह एक आवर्ती है लेकिन पुनरावृत्ति नहीं है। अतः यह एक अपरिमेय संख्या है।
प्रश्न 10. $\frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{11}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।
हल : $\begin{aligned} \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{11}} &=\frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{11}} \times \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} \\ &=\frac{2 \sqrt{77}}{11} \end{aligned}$
प्रश्न 11. $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।
हल : $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$=-\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3)^{2}}\right.}{\left(\sqrt{5)^{2}}-\left(\sqrt{3)^{2}}\right.\right.}$
$=\frac{5+3+2 \sqrt{15}}{5-3}$
$=\frac{8+2 \sqrt{15}}{2}$
$=4+\sqrt{15}$
प्रश्न 12. हल कीजिए : $\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}-\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$.
हल : $\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}-\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{(\sqrt{5}-2)^{2}-(\sqrt{5}+2)^{2}}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}$
$=\frac{(\sqrt{5}-2+\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2-\sqrt{5}-2)}{5-4}$
$=2 \sqrt{5 \times-4}$
$=-8 \sqrt{5}$
प्रश्न 13. सरल कीजिए : $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^{2}$.
हल : $\begin{aligned}(\sqrt{3}+\sqrt{7})^{2} &=(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{7})^{2}+2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} \\ &=3+7+2 \sqrt{21} \\ &=10+2 \sqrt{21} \end{aligned}$
प्रश्न 14. सरल कीजिए : $\left(\frac{62}{25}\right)^{-3 / 2}$
हल :$\begin{aligned}\left(\frac{62}{25}\right)^{-3 / 2} &=(62)^{-3 / 2} \times\left(5^{-2}\right)^{-3 / 2} \\ &=(62)^{-3 / 2} \times 5^{3} \\ &=125(62)^{-3 / 2} \end{aligned}$
प्रश्न 15. ज्ञात कीजिए :
(i) $(64)^{1 / 2}$
(ii) $32^{1 / 5}$
(iii) $(\mathbf{1 2 5})^{1 / 3}$
हल : (i) $(64)^{1 / 2}=(8 \times 8)^{1 / 2}=\left(8^{2}\right)^{1 / 2}=8$
(ii)$(32)^{1 / 5}=(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{1 / 5}=\left(2^{5}\right)^{1 / 5}=2$
(iii) $(125)^{1 / 3}=(5 \times 5 \times 5)^{1 / 3}=\left(5^{3}\right)^{1 / 3}=5$
प्रश्न 16. ज्ञात कीजिए :
(i) $9^{3 / 2}$
(ii) $(32)^{2 / 5}$
(iii) $(16)^{3 / 4}$
(iv) $(125)^{-1 / 3}$
हल : (i)
$\begin{aligned}(9)^{3 / 2} &=(3 \times 3)^{3 / 2} \\ &=\left(3^{2}\right)^{3 / 2}=(3)^{3}=27 \end{aligned}$
(ii)
$\begin{aligned}
(32)^{2 / 5} &=(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{2 / 5} \\&=\left(2^{5}\right)^{2 / 5}=(2)^{2}=4\end{aligned}$
(iii)
$\begin{aligned}(16)^{3 / 4} &=(2 \times 2 \times 2 \times 2)^{3 / 4}=\left(2^{4}\right)^{3 / 4} \\&=(2)^{3}=8 .\end{aligned}$
(iv)
$\begin{aligned}(125)^{-1 / 3} &=(5 \times 5 \times 5)^{-1 / 3} \\&=\left(5^{3}\right)^{-1 / 3}=(5)^{-1}=\frac{1}{5}\end{aligned}$
प्रश्न 17. सरल कीजिए-
(i) $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$
(ii) $\left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7}$
(iii) $\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}$
(iv) $7^{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2}$
हल : (i) $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}}$
$2^{\frac{10+3}{15}}=2^{\frac{13}{15}}$ [सूत्र $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$ के अनुसार]
(ii) $\left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7}=\left(3^{-3}\right)^{7}$ [सूत्र $\frac{1}{a^{m}}=a^{-m}$ के अनुसार]
$=(3)^{-3 \times 7}=3-21$
(iii) $\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}=11^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}$
[सूत्र $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ के अनुसार]
$=11^{\frac{2-1}{4}}=11^{\frac{1}{4}}$
(iv) $7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}=(7 \times 8)^{\frac{1}{2}}$
[सूत्र $a^{m} . b^{m}=(a b)^{m}$ के अनुसार]
$=(56)^{\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{56}=2 \sqrt{14}$
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