प्रश्नावली 2(C)
बहुविकल्पीय प्रश्न :
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हुए हैं, सही उत्तर छाँटिए :
प्रश्न 1. यदि $p(-8)=0$ हो, तो बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखण्ड होगा :
(i) $(x-3)$
(ii) $x+8$
(iii) $3 x$
(iv) $\frac{x}{2}$
उत्तर : विकल्प (ii) $x+8$.
हल :
$\begin{aligned}p(-8) &=0 \\p(x) &=x+8 .\end{aligned}$
प्रश्न 2. बहुपद $x^{2}+3 x+6$ को $x+4$ से भाग देने पर प्राप्त शेषफल होगा :
(i) $\quad-10$
(ii) 3
(iii) 5
(iv) $-2$
उत्तर : विकल्प (i) $-10$.
हल :
$\begin{aligned} x+4 &=0 \\ x &=-4 \\ \text { शेषफल } &=(-4)^{2}+8(-4)+6 \\ &=16-32+6 \\ &=-10 \end{aligned}$
प्रश्न 3. $x^{3}-3 x^{2}+4 x-12$ का एक गुणनखण्ड है :
(i) $x-3$
(ii) $x-1$
(iii) $x-2$
(iv) $x-4$.
उत्तर : विकल्प (i) $x-3$.
हल :
$\begin{aligned} x^{3}-3 x^{2}+4 x-12 &=x^{2}(x-3)+4(x-3) \\ &=(x-3)\left(x^{2}+4\right) \end{aligned}$
अतः $x-3$ एक गुणनखण्ड है।
प्रश्न 4. $2 x^{3}+4 x+6$ का एक गुणनखण्ड है :
(i) $x-1$
(ii) $x+1$
(iii) $x-2$
(iv) $x+2$.
उत्तर : विकल्प (ii) $x+1$.
$\begin{aligned} x+1 &=0 \text { या } x=-1 \\ \text { शेषफल } &=2(-1)^{3}+4(-1)+6 \\ &=-2-4+6 \\ &=0 \end{aligned}$
अतः $(x+1)$ एक गुणनखण्ड है।
लघु उत्तरीय प्रश्न :
निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में बहुपद $p$ को बहुपद $g$ से भाग दीजिए और भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए। यह भी बताइए कि किसमें $g, p$ का गुणनखण्ड है ( प्रश्न 5 से 11 तक ):
प्रश्न 5. $p(x)=x+3 x^{2}-1$ तथा $g(x)=1+x$.
हल :$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{3 x^{2}+x-1}{1+x}$
(image to be added)
यहाँ भागफल $3 x-2$ तथा शेषफल 1 है।
अतः $g, p$ का गुणनफल नहीं है।
प्रश्न 6.$p(x)=x^{3}+3 x^{2}-12 x+4$
और $g(x)=x-2$
हल :$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{3}+3 x^{2}-12 x+4}{x-2}$
(image to be added)
अतः भागफल $=x^{2}+5 x-2$
शेषफल $=0$
तथा $g$, $p$ का गुणनखण्ड है ।
प्रश्न 7.p $(t)=\beta^{3}-3 t^{2}-t+3$ और $g(t)=t^{2}-4 t+3$.
हल: $\frac{p(t)}{g(t)}=\frac{t^{3}-3 t^{2}-t+3}{t^{2}-4 t+3}$
(image to be added)
यहाँ भागफल $t+1$ और शेषफल शून्य है। हम लिखते हैं :
$t^{3}-3 t^{2}-t+3=(t+1)\left(t^{2}-4 t+3\right)$
अत: $g, p$ का गुणनखण्ड है ।
प्रश्न 8 $p(x)=x^{4}+1$
और $g(x)=x+1$
हल :$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{4}+1}{x+1}$
(image to be added)
अतः भागफल $=x^{3}-x^{2}+x-1$
शेषफल $=2$
तथा $g, p$ कां गुणनखण्ड नहीं है ।
प्रश्न 9.$p(x)=x^{5}+5 x^{3}+3 x^{2}+5 x+3$
$g(x)=x^{2}+4 x+2$
हल :$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{5}+5 x^{3}+3 x^{2}+5 x+3}{x^{2}+4 x+2}$
(image to be added)
अतः
$\begin{aligned} \text { भागफल } &=x^{3}-4 x^{2}+19 x-65 \\ \text { शेषफल } &=227 x+133 \end{aligned}$
तथा $g$, $p$ का गुणनखण्ड नहीं है ।
प्रश्न 10. $p(x)=y^{3}+y^{2}-2 y+1$ और $g(x)=y+3$.
हल : $\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{y^{3}+y^{2}-2 y+1}{y+3}$
(image to be added)
यहाँ भागफल $y^{2}-2 y+4$ और शेषफल $-11$ है। तथा $g, p$ का गुणनखण्ड नहीं है।
प्रश्न 11. $p(x)=x^{4}-81$ और $g(x)=x-3$.
हल : $\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{4}-81}{x-3}$
(image to be added)
भागफल $=x^{3}+3 x^{2}+9 x+27$
शेषफल $=$ शून्य
अतः $g(x), p(x)$ का गुणनखण्ड है।
प्रश्न 12. शेषफल' ज्ञात कीजिए जबकि $x^{3}-a x^{2}+6 x-a$ को $(x-a)$ से भाग दिया जाता है।
हल : दिया है, $P(x)=x^{3}-a x^{2}+6 x-a$
$P(x)$ में शेषफल प्रमेय से $x-a=0$
या
$\begin{aligned} x &=a \text { रखने पर }, \\ P(a) &=a^{3}-a(a)^{2}+6(a)-a \\ &=a^{3}-a^{3}+6 a-a=5 a \end{aligned}$
अतः $P(x)$ में $(x-a)$ से भाग देने पर शेषफल $=5 a$.
प्रश्न 13. यदि $x-1,4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k$ का एक गुणनखण्ड है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल : क्योंकि $x-1, p(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k$ का एक़ गुणनखण्ड है, इसलिए
$\begin{aligned} p(1) &=0 \text { होगा } \\ p(1) &=4(1)^{3}+3(1)^{2}-4(1)+k \\ &=4+3-4+k \\ 3+k &=0 \text { या } k=-3 \end{aligned}$
प्रश्न 14. (i) जाँच कीजिए कि बहुपद $q(t)=4 t^{3}+4 t^{2}-t-1,2 t+1$ का एक गुणज है।
हल : जैसा कि आप जानते हैं कि $q(t)$. बहुपद $2 t+1$ का गुणज केवल तब होगा जबकि $2 t+1$ से $q(t)$ को भाग देने पर कोई शेष न बचता हो। अब $2 t+1=0$ लेने पर हमें यह प्राप्त होता है :
$t=\frac{1}{2}$
और $\begin{aligned} q\left(-\frac{1}{2}\right) &=4\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}+4\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)-1 \\ &=-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-1 \\ &=0 \end{aligned}$
अतः $q(t)$ को $2 t+1$ से भाग देने पर प्राप्त शेषफल 0 है।
अत: $2 t+1$ दिए हुए बहुपद $q(t)$ का एक गुणनखण्ड' है अर्थात् $q(t), 2 t+1$ का एक गुणज है।
प्रश्न 14. (ii) जाँच कीजिए कि $7+3 x, 3 x^{3}+7 x$ का एक 'गुणनखण्ड है या नहीं।
हल : माना $P(x)=3 x^{3}+7 x$
$P(x)$ में शेषफल प्रमेय से $7+3 x=0$ या $x=\frac{-7}{3}$ रखने पर,
$\begin{aligned}P\left(-\frac{7}{3}\right) &=3\left(-\frac{7}{3}\right)^{3}+7\left(-\frac{7}{3}\right) \\&=3 \times \frac{-343}{27} \cdot-\frac{49}{3} \\&=\frac{-343}{9}-\frac{49}{3}\end{aligned}$
$=\frac{-343-147}{9}=\frac{-490}{9} \neq 0$
अतः $(7+3 x), 3 x^{3}+7 x$ का गुणनखण्ड नहीं है।
प्रश्न 15. निम्नलिखित पर बहुपद $5 x-4 x^{2}+3$ के मान ज्ञात कीजिए :
(i) $x=0$
(ii) $x=-1$
(iii) $x=2$
हल : माना $P(x)=5 x-4 x^{2}+3$
(i) समीकरण (i) में $x=0$ रखने पर,
$\begin{aligned} P(0) &=5(0)-4(0)^{2}+3 \\ &=0-0+3=3 \end{aligned}$
(ii) समीकरण (i) में $x=-1$ रखने पर,
$\begin{aligned}P(-1) &=5(-1)-4(-1)^{2}+3 \\&=-5-4(1)+3 \\&=-5-4+3=-6\end{aligned}$
(iii) समीकरण (i) में $x=2$ रखने पर,
$\begin{aligned}P(2) &=5(2)-4(2)^{2}+3 \\&=10-4(4)+3 \\&=10-16+3=-3\end{aligned}$
प्रश्न 16. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए $P(0), P(1), P(2)$ ज्ञात कीजिए :
(i) $P(y)=y^{2}-y+1$
(ii) $P(t)=2+t+2 t^{2}-t^{3}$
(iii) $P(x)=x^{3}$
(iv) $P(x)=(x-1)(x+1)$
हल : (i) ज्ञात है, $P(y)=y^{2}-y+1$
$P(0)=(0)^{2}-0+1=0-0+1=1$
$P(1)=(1)^{2}-1+1=1-1+1=1
$ $P(2)=(2)^{2}-2+1=4-2+1=3 .$
(ii) ज्ञात है,
$\begin{aligned}P(t) &=2+t+2 t^{2}-t^{3} \\P(0) &=2+(0)+2(0)^{2}-(0)^{3} \\&=2+0+2(0)-0 \\&=2+0+0-0=2 \\P(1) &=2+(1)+2(1)^{2}-(1)^{3} \\&=2+1+2 \times 1-1 \\&=2+1+2-1=4 \\P(2) &=2+(2)+2(2)^{2}-(2)^{3} \\&=2+2+2(4)-8=2+2+8-8 \\&=4 .\end{aligned}$
(iii) ज्ञात है,
$\begin{aligned}&P(x)=x^{3} \\&P(0)=(0)^{3}=0 \\&P(1)=(1)^{3}=1 \\&P(2)=(2)^{3}=8\end{aligned}$
(iv) ज्ञात है,
$\begin{aligned}&P(x)=(x-1)(x+1) \\&P(0)=(0-1)(0+1)=(-1)(1)=-1 \\&P(1)=(1-1)(1+1)=(0)(2)=0 \\&P(2)=(2-1)(2+1)=(1)(3)=3\end{aligned}$
प्रश्न 17. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं-
(i) $P(x)=3 x+1 ; x=-\frac{1}{3}$
(ii) $P(x)=5 x-\pi ; x=\frac{4}{5}$
(iii) $P(x)=x^{2}-1, x=1,-1$
(iv) $P(x)=(x+1)(x-2), x=-1,2$
(v) $P(x)=x^{2}, x=0$
(vi) $P(x)=k x+m, x=-\frac{m}{l}$
(vii) $P(x)=3 x^{2}-1, x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}$
(viii) $P(x)=2 x+1, x=\frac{1}{2}$
हल : (i) दिया है, $P(x)=3 x+1$
$x=-\frac{1}{3} \text { पर, } \quad P\left(-\frac{1}{3}\right)=3\left(-\frac{1}{3}\right)+1=-1+1=0$
अतः $x=-\frac{1}{3}, P(x)$ का शून्यक है।
(ii) दिया है, $P(x)=5 x-\pi$
$x=\frac{4}{5}$ पर, $\quad P\left(\frac{4}{5}\right)=5\left(\frac{4}{5}\right)-\pi=4-\pi \neq 0$
अत: $x=\frac{4}{5}, P(x)$ का शून्यक नहीं है।
$\begin{array}{ll}\text { (iii) दिया है, } & P(x)=x^{2}-1 \\ x=1 \text { पर, } & P(1)=(1)^{2}-1=1-1=0\end{array}$
अतः $x=1, P(x)$ का शून्यक है।
$P(-1)=(-1)^{2}-1=1-1=0$
$x=-1 \text { पर }$
अत: $x=-1, P(x)$ का शून्यक है।
(iv) दिया है, $\quad P(x)=(x+1)(x-2)$
$x=-1$ पर, $\quad P(-1)=(-1+1)(-1-2)=(0)(-3)=0$
अतः $x=-1, P(x)$ एक शून्यक है।
$x=2$ पर, $\quad P(2)=(2+1)(2-2)=(3)(0)=0$
अतः $x=2, P(x)$ का शून्यक है।
प्रश्न 18. निम्नलिखित स्थितियों' में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) $p(x)=x+5$
(ii) $p(x)=x-5$
(iii) $p(x)=2 x+5$
(iv) $p(x)=3 x-2$
(v) $p(x)=3 x$
(vi) $p(x)=a x ; a \neq 0$
(vii) $p(x)=c x+d ; c \neq 0, c, d$ वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल : (i) $p(x)=x+5$
इस पद में $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि 'समीकरण' $p(x)=0$ को हल करना।
अर्थात् $x+5=0$ या $x=-5$
अतः $-5$ बहुपद $x+5$ का एक शून्यक है।
(ii)$p(x)=x-5$
इस पद में $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण $p(x)=0$ को हल करना।
अर्थात् $x-5=0$
या $x=5$
अत: 5 बहुपद $x-5$ का एक शून्यक है।
(iii) $p(x)=2 x+5$
इस पद में $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि 'समीकरण $p(x)=0$ को हल करना।
अर्थात् $2 x+5=0$
$2 x=-5 \Rightarrow x=-\frac{5}{2}$
अतः $-\frac{5}{2}$ इस बहुपद का एक शून्यक है।
(iv)$p(x)=3 x-2$
इस पद में $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि 'समीकरण' $p(x)=0$ को हल करना। अर्थात्
$3 x=0$
$\text { या } \quad x=0$
अतः $x=0$ इस बहुपद का एक शून्यक है।
(vii) $\because \cdot p(x)=c x+d ; c \neq 0, c, d$ वास्तविक संख्याएँ हैं।
शून्यक के लिए
$\begin{aligned} p(x) &=0 \\ c x+d &=0 \\ c x &=-d \\ x &=-\frac{d}{c} \end{aligned}$
अतः बहुपद $c x+d$ का शून्यक $-\frac{d}{c}$ है।
प्रश्न $19 . x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$ को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
(i) $x+1$
(ii) $x-\frac{1}{2}$
(iii) $x$
(iv) $x+\pi$
(v) $5+2 x$
हल : दिया है, $P(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$
(i) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में $x+1=0$ या $x=-1$ रखने पर,
$\begin{aligned}P(-1) &=(-1)^{3}+3(-1)^{2}+3(-1)+1 \\&=-1+3(1)-3+1=-1+3-3+1 \\&=0\end{aligned}$
अतः $P(x)$ में $(x+1)$ से भाग देने पर, शेषफल $=0$.
(ii) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में $x-\frac{1}{2}=0$ या $x=\frac{1}{2}$ रखने पर
$\begin{aligned} P\left(\frac{1}{2}\right) &=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{1}{2}\right)+1 \\ &=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+1 \\ &=\frac{1+6+12+8}{8}=\frac{27}{8} \end{aligned}$
अतः $P(x)$ में $\left(x-\frac{1}{2}\right)$ से भाग देने पर शेषफल $=\frac{27}{8}$.
(iii) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में $x=0$ रखने पर
$\begin{aligned}P(0) &=(0)^{3}+3(0)^{2}+3(0)+1 \\&=0+0+0+1=1\end{aligned}$
अत: $P(x)$ में $x$ से भाग देने पर शेषफल $=1$.
(iv) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में $x+\pi=0$ या $x=-\pi$ रखने पर
$\begin{aligned} P(-\pi) &=(-\pi)^{3}+3(-\pi)^{2}+3(-\pi)+1 \\ &=-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1 \end{aligned}$
अतः $P(x)$ में $(x+\pi)$ से भाग देने पर शेषफल $=-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1$.
(v) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में $2 x+5=0$ या $x=-\frac{5}{2}$ रखने पर
$\begin{aligned} P\left(-\frac{5}{2}\right) &=\left(-\frac{5}{2}\right)^{3}+3\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+3\left(-\frac{5}{2}\right)+1 \\ &=\frac{-125}{8}+\frac{75}{4}-\frac{15}{2}+1 \\ &=\frac{-125}{8}+\frac{3 \times 25}{4}-\frac{15}{2}+1 \\ &=\frac{-125+150-60+8}{8} \\ &=\frac{-27}{8} \end{aligned}$
अतः $P(x)$ में $(2 x+5)$ से भाग देने पर शेषफल $=\frac{-27}{8}$.
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