प्रश्नावली 13 (A)
प्रश्न 1. यदि एक घन की एक कोर 12 सेमी हो, तो घन के विकर्ण का मान ज्ञात कीजिए । हल : माना
घन की कोर $a=12$ सेमी.
तब
घन का विकर्ण $=a \sqrt{3}$ सेमी
$=12 \sqrt{3}$ सेमी
अतः घन का विकर्ण $=12 \sqrt{3}$ सेमी ।
प्रश्न 2. 12 सेमी $\times 4$ सेमी $\times 3$ सेमी की आयता कार डिबिया में अधिक-से-अधिक कितनी लम्बाई की सुई रखी जा सकती है ?
हल : आयताकार डिबिया की कोरें $l=12$ सेमी, $b=4$ सेमी, $h=3$ सेमी हैं, तब अधिक-से-अधिक लम्बाई की सुई विकर्ण की ओर रखी जा सकती है, तब
$\begin{aligned}\text { विकर्ण } &=\sqrt{\left(\overline{(2}+b^{2}+h^{2}\right)} \\&=\sqrt{(12)^{2}+(4)^{2}+(3)^{2}} \\&=\sqrt{144+16+9} \\&=\sqrt{169}=13 \text { सेमी }\end{aligned}$
अत :अभीष्ट सुई की लम्बाई $=13$ सेमी ।
प्रश्न 3. एक आयताकार ठोस की लम्बाई चौड़ाई से दुगुनी और ऊँचाई से तिगुनी है और उसका आयतन 36 घन सेमी है, तो चौड़ाई क्या होगी ?
हल : माना आयताकार ठोस की लम्बाई $=l$, चौड़ाई $=b$ तथा ऊँचाई $=h$ है, तब 'प्रश्नानुसार,
$l=2 b \text { या } b=\frac{i}{2}$
$\begin{aligned}l &=3 h \text { या } h=\frac{l}{3} \\\text { आयतन } &=l \times b \times h=36 \\l \times \frac{l}{2} \times \frac{l}{3} &=36 \\: l^{3} &=6 \times 36=6 \times 6 \times 6 \\l &=6 \text { सेमी । }\end{aligned}$
चौड़ाई $=b=\frac{l}{2}=\frac{6}{2}=3$ सेमी
चौड़ाई $=3$ सेमी ।
प्रश्न 4 धातु के तीन घनों की कोरें 2,12 और 16 डेसीमीटर हैं । इनको गलाकर एक घन में बदल लिया जाता है । नये घन का आयतन, इसकी प्रत्येक कोर तथा विकर्ण ज्ञात कीजिए ।
हल : माना धातु के तीन घनों की कोरें $a_{1}=2$ 'डेसी'मीटर, $a_{2}=12$ डेसीमीटर, $a_{3}=16$ 'डेसीमीटर, हैं । गलाने के बाद बने घन की कोर $a$ है, तब नये घन का आयतन तीनों घनों के आयतन के योग के बराबर होगा । अर्थात्
$\begin{aligned} V &=V_{1}+V_{2}+V_{3} \\ a^{3} &=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3} \\ \text { आयतन } &=a^{3} \\ &=(2)^{3}+(12)^{3}+(16)^{3} \\ &=8+1728+4096 \\ &=5832 \\ a &=18 \text { डेसीमीटर } \\ \text { विकर्ण } &=a \sqrt{3}=18 \sqrt{3} \text { डेसीमीटर } \\ \text { आयतन } &=5832 \text { घन डेसीमीटर } \\ \text { घन की एक कोर } &=18 \text { डेसीमीटर } \\ \text { विकर्ण } &=18 \sqrt{3} \text { डेसीमीटर । } \end{aligned}$
प्रश्न 5. एक आयताकार जलाशाय की लम्बाई 6 मीटर और चौड़ाई 5 मीटर है । उसमें एक नल से 120 लीटर प्रति मिनट की रफ्तार से पानी भरा जाता है, जलाशय में पानी का तल कितने सेमी प्रति घण्टा से ऊपर उठेगा ?
हल :. माना आयताकार जलाशय की लम्बाई $l=6$ मीटर, चौड़ाई $=5$ मीटर तथा ऊँचाई $=h$ मीटर ।
$\because$ ज़लाशय में 120 लीटर प्रति मिनट से पानी भरा जाता है अर्थात् 1 घण्टे में $60 \times 120$ लीटर पानी भरा जायेगा या
$\frac{60 \times 120 \times 1000}{100 \times 100 \times 100}=\frac{12 \times 6}{10}=\frac{36}{5}$ घन मीटर
पानी का आयतन $=\frac{36}{5}$ घन मीटर
$\begin{aligned}\text { आयतन } &=l \times b \times h=\frac{36}{5} \\6 \times 5 \times h &=\frac{36}{5} \\h &=\frac{36}{5 \times 6 \times 5}=\frac{6}{25} \text { मीटर } \\h &=\frac{6}{25} \times 100=24 \text { सेमी }\end{aligned}$
अतः पानी 24 सेमी प्रति घण्टा ऊपर उठेगा ।
प्रश्न 6. एक घन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका सम्पूर्ण पृष्ठ 54 वर्ग मीटर है ।
हल : माना घन की कोर $=a$ मीटर है, तब
$\begin{aligned}\text { सम्पूर्ण पृष्ठ } &=6 a^{2} \\6 a^{2} &=54 \\a^{2} &=9 \\a &=3 \text { मीटर }\end{aligned}$
आयतन $=a^{3}=(3)^{3}=27$ घन मीटर अभीष्ट आयतन $=27$ घन मीटर ।
प्रश्न 7. यदि किसी घन का सम्पूर्ण पृष्ठ 486 वर्ग मीटर है, तो उस घन का आयतन ज्ञात कीजिए । '
हल : माना घन की एक कोर $a$ मीटर है, तब
सम्पूर्ण पृष्ठ $=6 a^{2}=486$
$\begin{gathered}a^{2}=\frac{486}{6}=81 \\a=9 \text { मीटर }\end{gathered}$
आयतन $=a^{3}=(9)^{3}=729$ घन मीटर अभीष्ट आयतन $=729$ घन मीटर ।
प्रश्न 8. निम्न सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :
घनाभ का :
हल ;(IMAGE TO BE ADDED)
आयतन $=24$
लम्बाई $l=2$ सेमी
चौड़ाई $b=4$ सेमी
$\begin{aligned}\text { आयतन } &=\text { लम्बाई } \times \text { चौड़ाई } \mathrm{x} \text { ऊँचाई } \\\qquad 24 &=2 \times 4 \times \text { ऊँचाई } \\\text { ऊँचाई }(h) &=\frac{24}{2 \times 4}=3 \text { सेमी } \\\text { पृष्ठ } &=2(l \times b+b \times h+h \times \bar{l}) \\&=2[2 \times 4+4 \times 3+3 \times 2] \\&=2[8+12+6] \\&=52 \text { वर्ग सेमी } \\\text { विकर्ण } &=\sqrt{\left[\overline{2}+b^{2}+h^{2}\right.} \\&=\sqrt{4+16+9} \\&=\sqrt{29} \text { सेमी । } \\l &=10 \text { सेमी } \\b &=8 \text { सेमी } \\h &=4 \text { सेमी } \\\text { आयतन } &=l \times b \times h \\&=10 \times 8 \times 4 \\&=.320 \text { घन सेमी }\end{aligned}$
प्रश्न 9. एक घन के विकर्ण की लम्बाई $10 \sqrt{3}$ सेमी है, तो उसका आयतन ज्ञात कीजिए ।
हल : माना घन की एक कोर $=a$ मीटर
$\begin{aligned} \text { सम्पूर्ण पृष्ठ } &=6 a^{2} \\ \ddot{6 a}^{2} &=1944 \\ a^{2} &=\frac{1944}{6}=324 \\ a &=18 \text { मीटर } \\ \text { घन का आयतन } &=a^{3}=(18)^{3} \\ &=5832 \text { घन मीटर } \end{aligned}$
अभीष्ट घन का आयतन $=5832$ घन मीटर ।
प्रश्न 11. एक दीवार 10 मीटर लम्बी, 4 डेसीमीटर चौड़ी, 3 मीटर ऊँची बनाने में कितनी इटों की आवश्यकता होगी, जबकि एक इंट की विमाएँ 25 सेमी $\times 12$ सेमी $\times 8$ सेमी हैं ।
हल :
$\begin{aligned} \text { दीवार की लम्बाई } &=10 \text { मीटर } \\ &=10 \times 100 \text { सेमी } \\ \text { चौड़ाई } &=4 \text { 'डेसीमीटर } \\ &=4 \times 10=40 \text { सेमी } \end{aligned}$
एक दीवार का आयतन $=10 \times 100 \times 4 \times 10 \times 3 \times 100$
एक ईंट का आयतन $=25 \times 12 \times 8$ सेमी
कुल ईंयें की संख्या $=\frac{10 \times 100 \times 4 \times 10 \times 3 \times 100}{25 \times 12 \times 8}$
$=5000$ इटें
प्रश्न 12. एक घनाकार हॉल की लम्बाई 12 मीटर है । इस होल में कितमे विध्यार्यी रह सकते हैं जबकि प्रत्येक विद्यार्थी को $2.56$ घन मीटर स्थान की आवश्यकता होती है । हॉल का सम्पूर्ण पृष्ठ भी ज्ञात कीजिए ।
हल :घनाकार हॉल की लम्बाई $l=12$ मीटर
$\begin{aligned}\text { हॉल का आयतन } &=(12)^{3} \\&=12 \times 12 \times 12 \text { घन मीटर }\end{aligned}$
एक विद्यार्थी को बैठने का स्थान $=2.56$ घन मीट्ट
$\begin{aligned} \text { कुल बैठने वाले विद्यार्थी }=& \begin{aligned} 12 \times 12 \times 12 \\ 2.56 \\ & & \frac{12 \times 12 \times 12 \times 100}{256} \\ &=& 675 \text { विद्यार्थी } \\ \text { पुन: हॉल का सम्पूर्ण पृष्ठ } &=& 6 a^{2} \\ &=& 6 \times(12)^{2} \\ &=& 6 \times 144 \\ &=& 864 \text { वर्ग मीटर } \\ \text { अत: कुल विद्यार्थी } &=& 675 \end{aligned} \\ & \end{aligned}$
हॉल का सम्पूर्ण पृष्ठ $=864$ वर्ग मीटर ।
प्रश्न 13. यदि एक आयताकार 60 मीटर लम्बे और 5 मीटर चौसे मैदान में 5 सेमी पानी वर्षा हो, तो मैदान पर कुल कितने लीटर पानी गिरा ?
हल : आयताकार मैदान की लम्बाई
$l=60 \text { मीटर }_{3} .$
चौड़ाई $(b)=5$ मीटर
ऊँचाई $h=5$ सेमी
लम्बाई $l=60 \times 100$ सेमी
चौड़ाई $b=5 \times 100$ सेमीं,
मैदान में पानी का आयतन $=60 \times 100 \times 5 \times 100 \times 5$ घन सेमी
$\begin{aligned}&{=60 \times 100 \times 5 \times 100 \times 5}{1000} \\&=6 \times 2500^{4}=15000 \text { लीटर } 1\end{aligned}$
प्रश्न 14. एक घन का आयतन 8 डेसीमीटर 3 है । घन के विकर्ण की माप सेमी में ज्ञात कीजिए ।
हल : माना घन की एक कोर $a$ सेमी है तथा आयतन $=8$ डेसीकीटर $^{3}$
$=8 \times 190,10 \times 10$ घन सेमी
आयतन $=a^{3}$ is
=
$a=2 \times 10=20$ सेमी
घन का विकर्ण $=a \sqrt{3}$
$=20 \mathrm{a} \mathrm{2}-\mathrm{m}+2$
विकर्ण की लम्बाई $=20 \sqrt{3}$ सेमी
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