प्रश्नावली 9 (A)
प्रश्न 1. निम्नलिखित आकृतियों में से कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समांतर रेखाएँ लिखिए।
(image to be added)
हल : (i) इस आकृति में त्रिभुज $P D C$ तथा चतुर्भज $A B C D$ का उभयनिष्ठ आधार $D C$ है। $A B$ तथा $D C$ की समान्तर रेखा पर त्रिभुज का शीर्ष $P$ तथा चतुर्भुज के शीर्ष $A$ व $B$ स्थित हैं।
अत: ये आकृतियाँ (त्रिभुज और चतुर्भुज) एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
(ii) इस आकृति में दोनों चतुर्भुजों का आधार $S R$ तो उभयनिष्ठ है परन्तु उनके शीर्ष $P, Q$ व $M, N$ आधार के समान्तर एक ही रेखा में नहीं हैं। अतः ये एक ही आधार और एक समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
(iii) दी गई आकृति में $\triangle Q R T$ और $\square P Q R S$ का आधार $Q R$ उभयनिष्ठ है जबकि आधार $Q R$ के समान्तर एक ही रेखा पर $\triangle Q R T$ का शीर्ष $T$ और $\square P Q R S$ के शीर्ष $P$ व $S$ स्थित हैं। तब $\triangle Q R T$ और $\square P Q R S$ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उभयनिष्ठ आधार $Q R$ तथा समान्तर रेखाएँ $Q R$ व $P S$ हैं।
(iv) दी गई आकृति में दो समलम्ब व एक त्रिभुज है जिनका कोई उभयनिष्ठ आधार नहीं हैं। अतः ये एक ही आधार व एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं है।
(v) इस आकृति में दो समलम्ब $A B Q D$ तथा $A P C D$ हैं व दो त्रिभुज $A B P$ तथा $D C Q$ हैं, जिनमें सभी का कोई उभयनिष्ठ आधार नहीं है। अतः ये आकृतियाँ एक ही. आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
(vi) दी गई आकृति में $P Q R S$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके अंन्तर्गत $\square P A D S, A B C D$, व $\square B Q R C$. तीन समान्तर चतुर्भुज समाहित हैं परन्तु इनका कोई उभवनिष्ठ आधार नहीं है। अतः ये आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
प्रश्न 2 सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाला रेखाखण्ड समान्तर चतुर्भुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो समान्तर चतुर्भुजों में बाँटता है ।
हल : दिया है : समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में $A B$ तथा $C D$ के मध्य बिन्दु क्रमशः $E$ तथा $F$ हैं और $E F$ इसे दो भागों में विभक्त करता है ।
$\begin{aligned}&A E=B E \\&D F=C F .\end{aligned}$
सिद्ध करना है : $A E F D$ 'तथा $B C F E$ बराबर क्षेत्रफल के समान्तर चतुर्भुज हैं । रचना : बिन्दु $F$ तथा $D$ से रेखा $A B$ पर क्रमशः $F H$ तथा $D G$ लम्ब खींचे ।
(image to be added)
$A E=\frac{1}{2} A B$ $[\because E, A B$ का मध्य बिन्दु है]
$D F=\frac{1}{2} D C$, $[\because F, C D$ का मध्य बिन्दु है]
AE = DF..........(1)
[AB =DC]
$A B \| D C$
$A E \| D F$............(2)
समीकरण (1) व (2) से $A E F D$ समान्तर चतुर्भुज है । इसी प्रकार से $B C F E$ भी समान्तर चतुर्भुज है । समान्तर चतुर्भुज $A E F D$ का क्षेत्रफल $=A E \times D G$..................(3)
समान्तर चतुर्भुज $\begin{aligned} B C F E \text { का क्षेत्रफल } &=E B \times F H \\ &=A E \times D G \end{aligned}$...........(4)
$[\because E B=A E$ तथा $F H=D G]$
समीकरण (3) तथा (4) से,
समान्तर चतुर्भुज $A E F D$ का क्षेत्रफल $=$ समान्तर चतुर्भुज $B C F D$ का क्षेत्रफल ।
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल महत्तम होता है जब यह एक आयत है ।
हल : दिया है : समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ तथा आयत $P Q R S$ जिनकी भुजाएँ
$\begin{aligned}&A B=P Q=a \\&A D=P S=b\end{aligned}$
समीकरण (3) तथा (4) से,
समान्तर चतुर्भुज $A E F D$ का क्षेत्रफल $=$ समान्तर चतुर्भुज $B C F D$ का क्षेत्रफल ।
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल महत्तम होता है जब यह एक आयत है ।
हल : दिया है : समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ तथा आयत $P Q R S$ जिनकी भुजाएँ
$\begin{aligned}&A B=P Q=a \\&A D=P S=b\end{aligned}$
सिद्ध करना है : आयत $P Q R S$ का क्षेत्रफल $>$ समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल । रचना : बिन्दु $D$ से रेखाखण्ड $A B$ पर लम्ब $D E$ खींचा ।
(image to be added)
उपपत्ति : $\begin{aligned} \text { आयत } P Q R S \text { का क्षेत्रफल } &=P Q \times P S \\ &=a \times b......(1) \\ \text { समान्तर चतुर्भुज } A B C D \text { का क्षेत्रफल } &=A B \times D E \\ &=a \times D E \end{aligned}$
समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=A B \times D E$
$=a \times D E$
समकोण $\triangle A E D$ में,
$D E \angle A$ $D E<b$[क्योंकि समकोण $\Delta$ में कर्ण सबसे बड़ा होता है]
$D E<b$
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=a \times D E<a \times b$, $[\because D E<b]$
$a \times D E<a \times b$
आयत $P Q R S$ का क्षेत्रफल $>$ समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल ।
प्रश्न 4. एक समान्तर चतुर्भुज की क्रमागत भुजाएँ 10 सेमी और 8 सेमी हैं । यदि बड़ी भुजाओं के बीच की दूरी 4 सेमी हो, तो छोटी भुजाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल : $\square A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें $A B=10$ सेमी, $B C=A D=8$ सेमी तथा शीर्ष लम्ब $D E=4$ सेमी, तब शीर्ष लम्ब $B F$ ज्ञात करना है ।
(image to be added)
अब समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=$ एक भुजा $\times$ संगत शीर्ष लम्ब
$\begin{aligned}&=A B \dot{\times} D E \\&=10 \times 4 \text { वर्ग सेमी }\end{aligned}$........(1)
$\begin{aligned} \text { पुनः समान्तर चतुर्भुज } A B C D \text { का क्षेत्रफल } &=A D \text { (छोटी भुजा }) \times \text { संगत शीर्ष लम्ब } \\ &=8 \times B F \end{aligned}$.........(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$\begin{aligned}8 \times B F &=10 \times 4 \\B F &=\frac{10 \times 4}{8}=5 \text { सेमी }\end{aligned}$
छोटी भुजा के बीच की दूरी $=5$ सेमी ।
प्रश्न 5. एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 32 मीटर $^{2}$ है । यदि आधार और इसके संगत शीर्ष लम्ब का अनुपात $1: 2$ है, तो आधार और शीर्ष लंम्ब ज्ञात कीजिए।
$\begin{aligned}&\text { हल : } \quad \text { समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल } & =32 \text { मीटर }^{2} \\&\text { आधार } \\&\text { संगत शीर्ष लम्ब } & =\frac{1}{2} \\&\text { या } & \text { आधार } & =\frac{1}{2} \text { संगत शीर्ष लम्ब }\end{aligned}$..............(1)
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=$ आधार $\times$ संगत शीर्ष लम्ब
$32=\frac{1}{2}$ संगत शीर्ष लम्ब $\times$ संगत शीर्ष लम्ब
(संगत शीर्ष लम्ब) $^{2}=64$
संगत शीर्ष लम्ब $=8$ मीटर
समीकरण (1) से,
$\begin{aligned}\text { आधार } &=\frac{1}{2} \text { संगत शीर्ष लम्ब } \\&=\frac{1}{2} \times 8=4 \text { मीटर }\end{aligned}$
आधार $=4$ मीटर
शीर्ष लम्ब $=8$ मीटर ।
प्रश्न 6. एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 72 मीटर $^{2}$ है । यदि आधार के संगत शीर्षलम्बं दुगुना हो, तो आधार और शीर्ष लम्ब ज्ञात कीजिए ।
हल : समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=72$ मीटर $^{2}$
माना
आधार $=a$ मीटर
संगत शीर्ष लम्ब $=h$ मीटर
तब दिया है कि $a=2 h$
$\begin{aligned} \text { समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल } &=\text { आधारं } \times \text { संगत शीर्ष लम्ब } \\ 72 &=a \times h \\ 72 &=2 h \times h \end{aligned}$ $[\because a=2 h$ से]
$\begin{aligned} 2 h^{2} &=72 \\ h^{2} &=\frac{72}{2}=36 \\ h &=6 \text { मीटर } \\ a &=2 h \\ a &=2 \times 6=12 \text { मीटर } \end{aligned}$
आधार की लम्बाई $=a=12$ मीटर
संगत शीर्ष लम्ब $=h=6$ मीटर ।
प्रश्न 7. चित्र में $A B C D$ एक चतुर्भुज है और $B D$ इसका एक विकर्ण है । दिखाइए कि $\square A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है और इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
(image to be added)
हल : दिया है : $A B C D$ चतुर्भुज में $A B=C D=3$ सेमी, $\angle A B D=\angle B D C=90^{\circ}$. सिद्ध करना है : $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है तथा इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात करना है । उपपत्ति : $A B$ तथा $D C$ रेखाओं को तिर्यक् रेखा $D B$ काट रही है ।
$\begin{aligned}\angle A B D &=\angle B D C=90^{\circ} \\A B & \| D C \\A B &=D C\end{aligned}$
$\therefore A B C D$ समान्तर चतुर्भुज है ।
पुन: समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=$ आधार $\times$ संगत शीर्ष लम्ब
$=3 \times 4=12$ वर्ग सेमी ।
अत: $A B C D$ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=12$ वर्ग सेमी ।
प्रश्न 8. समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में $A B=6$ सेमी, भुजाओं $A B$ तथा $B C$ की संगत ऊँचाइयाँ क्रमश: 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं । $B C$ की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल : दिया है : समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में $A B=6$ सेमी, भुजाओं $A B$ तथा $B C$ की संगत ऊँचाइयाँ 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं । $B C$ की लम्बाई ज्ञात करनी है ।
(image to be added)
$\begin{aligned} \text { समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल } &=\text { आधार } \times \text { संगत ऊँचाई } \\ &=A B \times D E \\ &=B C \times D F \\ A B \times D E &=B C \times D F \\ 6 \times 5 &=B C \times 3 \\ B C &=\frac{6 \times 5}{3}=10 \text { सेमी } \\ B C \text { की लम्बाई } &=10 \text { सेमी । } \end{aligned}$
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