प्रश्नावली 12 (C)
प्रश्न 1.
आकृति में, छयांकित' भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि $P Q=24$ सेमी., $P R=7$ सेमी. तथा 0 वृत्त का केन्द्र है।
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हल : दिया है :
$\mathrm{PQ}=24$ सेमी.
$\mathrm{PR}=7$ सेमी.
$\because$ हम जानते हैं कि अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है अर्थात्
$\therefore \quad \angle \mathrm{RPQ}=90^{\circ}$
समकोण $\triangle \mathrm{RPQ}$ में,
$\mathrm{QR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)
$\begin{aligned}&=(7)^{2}+(24)^{2}=49+576 \\\mathrm{QR}^{2} &=625 \\\mathrm{QR}(\text { व्यास }) &=25 \text { सेमी. }\end{aligned}$
वृत्त की त्रिज्या $=\mathrm{OR}=\mathrm{OQ}=\frac{25}{2}$ सेमी.
$\therefore$ अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2} \times$ वृत्त का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2} \times \pi r^{2}$
$=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{2} \times \frac{25}{2}=\frac{6875}{28} \cdot$ वर्ग सेमी.
और $\mathrm{PQR}$ समकोण का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2} \times$ लम्ब $\times$ आधार
$=\frac{1}{2} \times 24 \times 7=84$ वर्ग सेमी.
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ अर्द्ध वृत्त का क्षेत्रफल - संमकोणं $\triangle \mathrm{PQR}$ का क्षेत्रफल
$=\frac{6875}{28}-84$
$=\frac{6875-2352}{28}=\frac{4523}{28} .$ वर्ग सेमी.
प्रश्न 2.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 सेमी. वाले एक समबाहु त्रिभुज $\mathrm{OAB}$ के शीर्ष $\mathrm{O}$ को केन्द्र मानकर 6 सेमी. त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।
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हल : समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा $=12$ सेमी.
$\because$ समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ तथा कोण समान होते हैं।
इसलिए समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $=60^{\circ}$
$\therefore$ समबाहु त्रिभुज $\mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(\text { भुजा })^{2}$
$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 \times 12=36 \sqrt{3} \text { वर्ग सेमी. }$
समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $\mathrm{O}$ को केन्द्र मानकर एक वृत्त खींचा गया है जिसकी त्रिज्या,
$r=6 \text { सेमी. }$
तथा दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण $=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}$
$\begin{aligned} \text { दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल } &=\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ &=\frac{300^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \end{aligned}$
$=\frac{660}{7} \text { वर्ग सेमी. }$
अब छयांकित' भाग का क्षेत्रफल = समबाहु $\triangle \mathrm{AOB}$ का क्षेत्रफल + दीर्घ त्रिज्यखण्ड' का क्षेत्रफल
$=\left(36 \sqrt{3}+\frac{660}{7}\right) \text { वर्ग सेमी.। }$उत्त
प्रश्न 3.
दी गयी आकृति एक दौड़ने का पथ दर्शाती है, जिसके बायें और दायें सिरे अर्ब्दवृत्ताकार हैं। दोनों आन्तरिक समान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 मी. है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड' 106 मी. लम्बा है। यदि यह पथ 10 मी. चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए :
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(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गयी दूरी।
(ii) पथ का क्षेत्रफल।
हल : माना$\mathrm{OB}=\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{C}=30$ मी.
$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=10$ मा.
$\mathrm{OA}=\mathrm{O} \mathrm{D}=(30+10)$ मी. $=40$ मी.
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(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश 1 चक्कर की दूरी
$\begin{aligned}&=\mathrm{BC}+\mathrm{EH}+2 \times \text { अर्द्धवृत्त की परिधि } \\&=106+106+2 \times \frac{1}{2} \times 2 \pi \times 30 \\&=212+2 \times \frac{22}{7} \times 30 \\&=212+\frac{1320}{7} \\&=\frac{1484+1320}{7}=\frac{2804}{7} \text { मीटर }\end{aligned}$
(ii) $\because$ वृत्ताकार भागों की आन्तरिक त्रिज्या $\mathrm{OB}=30$ मी.
और पथ की चौड़ाई $=10$ मी.
वृत्ताकार पथ भागों की बाह्य त्रिज्या
$=(30+10) \text { मी. }=40 \text { मी. }$
$\therefore$ दोनों वृत्ताकार भागों का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\pi\left[(ब ा ह ् य ~ त ् र ि ज ् य ा)^{2}-(\text { आन्तरिक त्रिज्या })^{2}\right] \\&=\pi\left[(40)^{2}-(30)^{2}\right] \\&=\pi(40+30)(40-30) \\&=2200 \text { वर्ग सेमी }\end{aligned}$
वृत्ताकार भागों के अतिरिक्त पथ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=2 \times(\text { लम्बाई } \times \text { पथ की चौड़ाई) } \\&=2 \times 106 \times 10^{\circ}=2120 \text { वर्ग मी. }\end{aligned}$
$\therefore \quad$ पथ का कुल क्षेत्रफल $=(2200+2120)$ वर्ग मी. $=4320$ वर्ग मी.।
प्रश्न 4.
एक समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $17320.5$ वर्ग सेमी. है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है (देखिए आकृति में)। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14$ और $\sqrt{3}=1.73205$ लीजिए D)
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|हल : $\because \mathrm{ABC}$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$\because$ समबाहु त्रिभुज की आधी भुजा को त्रिज्या माना है
माना त्रिज्या $r$ हो तो समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा
$=\mathrm{AB}=r+r=2 r$
$\because$ समबाहु $\Delta$ का क्षेत्रफल
$=17320.5 \text { वर्ग सेमी. }$
$\frac{\sqrt{3}}{4} \times(\text { भुजा })^{2}=17320.5$
$\begin{aligned}(2 r)^{2} &=\frac{17320.5 \times 4}{\sqrt{3}} \\ 4 r^{2} &=\frac{17320.5 \times 4}{1.73205} \\ r^{2} &=\frac{40000}{4} \\ r &=\sqrt{10000}=100 \text { सेमी. } \end{aligned}$
$\because$ समबाहु $\Delta$ में प्रत्येक का कोण बनता है अर्थात् प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का कोण, $\theta=60^{\circ}$ और त्रिज्या, $r=100$ सेमी.
तीन वृत्त दिए गए हैं।
तीनों वृत्तों के त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=3 \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 100 \times 100 \\&=3.14 \times 50 \times 100=15700 \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$
अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= समबाहु $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल - तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल
=17320.50-15700
=1620.5 वर्ग सेमी.। उत्तर
प्रश्न 5.
आकृति में, $O A C B$ केन्द्र $O$ और त्रिज्या $3.5$ सेमी. वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि $O D=$ 2 सेमी. है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
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(i) चतुर्थांश $\mathrm{OACB}$,
(ii) छायांकित भाग।
हल : $\because$ दिए गए चतुर्थांश BOA की त्रिज्या, $r=3.5$ सेमी.
$r=3.5$ सेमी.
(i) अतः चतुर्थाश $\mathrm{OACB}$ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{4} \pi r^{2} \\&=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \\&=\frac{11}{14} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}=\frac{77}{8} \text { वर्ग सेमी.। }\end{aligned}$उत्तर
(ii) $\therefore \Delta \mathrm{OBD}$ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times O B \times O D \\&=\frac{1}{2} \times r \times 2 \\&=\frac{1}{2} \times 3.5 \times 2=\frac{7}{2} \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$
अब छायांकित भाग $=$ चतुर्थांश $\mathrm{OACB}$ का क्षेत्रफल $-\triangle \mathrm{OBD}$ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\left(\frac{77}{8}-\frac{7}{2}\right) \text { वर्ग सेमी. } \\&=\left(\frac{77-28}{8}\right) \text { वर्ग सेमी. } \\&=\frac{49}{8} \text { वर्ग सेमी.। }\end{aligned}$उत्तर
प्रश्न 6.
$\mathrm{AB}$ और $\mathrm{CD}$ केन्द्र $\mathrm{O}$ तथा त्रिज्याओं 21 सेमी. और 7 सेमी. वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं (देखिए आकृति में)। यदि $\angle \mathrm{AOB}=30^{\circ}$ है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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हल : मान लीजिए दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल क्रमशः $\mathrm{OAB}$ तथा $\mathrm{OCD}$ हैं, तो त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OAB}$ के लिए $\theta=30^{\circ}$
तथा त्रिज्या, $r=21$ सेमी.
$\therefore \quad$ त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$\begin{aligned}&=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \\&=\frac{231}{2} \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$
त्रिज्यखण्ड' $\mathrm{OCD}$ के लिए $\theta=30^{\circ}$
त्रिज्या, $r=7$ सेमी.
त्रिज्यखण्ड OCD का क्षेत्रफल $=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$\begin{aligned}&=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \\&=\frac{77}{6} \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$
अब छायांकित' भाग का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $-$ त्रिज्यखण्ड' $\mathrm{OCD}$ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\left(\frac{231}{2}-\frac{77}{6}\right) \text { वर्ग सेमी. } \\&=\left(\frac{693-77}{6}\right) \text { वर्ग सेमी. } \\&=\frac{616}{6} \text { वर्ग सेमी. या } \frac{308}{3} \text { वर्ग सेमी.। }\end{aligned}$
प्रश्न 7.
एक वृत्ताकार मे जपोश', जिसकी त्रिज्या 32 सेमी. है, में बीच में एक समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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हल : दिया है : $\mathrm{ABC}$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसका प्रत्येक कोण
$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=60^{\circ}$
$\mathrm{OB}, \mathrm{OC}$ तथा $\mathrm{OA}$ वृत्ताकार मेजपोश की त्रिज्याएँ हैं अर्थात्
$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OA}=32 \text { सेमी. }$
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$\triangle \mathrm{OBD}$ में,
$\begin{aligned} \sin 60^{\circ} &=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{OB}} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} &=\frac{\mathrm{BD}}{32} \\ \mathrm{BD} &=16 \sqrt{3} \text { सेमी } \\ \cos 60^{\circ} &=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OB}} \text { या } \frac{1}{2}=\frac{\mathrm{OD}}{32} \\ \mathrm{OD} &=16 \\ \mathrm{BC} &=2 \times \mathrm{BD}=2 \times 16 \sqrt{3}=32 \sqrt{3} \end{aligned}$
अर्थात् समबाहु त्रिभुज की भुजा
$=32 \sqrt{3} \text { सेमी }$
अब समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल
$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(\text { भुजा })^{2}$
$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(32 \sqrt{3})^{2}$
$=\frac{32 \times 32 \times 3 \sqrt{3}}{4}=768 \sqrt{3}$ वर्ग सेमी.
वृत्ताकार मेजप्पेश' का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$
$=\frac{22}{7} \times 32 \times 32=\frac{22528}{7} \text { वर्ग सेमी. }$
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\text { मे जपोश का क्षेत्रफल }-\text { समबाहु } \Delta \text { का क्षेत्रफल } \\&=\left(\frac{22528}{7}-768 \sqrt{3}\right) \text { वर्ग सेमी.। }\end{aligned}$
प्रश्न 8.
एक वर्गाकार लोहे की चद्दर की भुजा 7 मीटर है। इसमें से बड़े से बड़ा वृत्ताकार टुकड़ा काट लिया गया है। इस टुकड़े का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और यह भी बताइए कि लोहे का कितना क्षेत्रफल शेष रह गया ?
हल :
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वर्गाकार लोहे की चद्दर की भुजा $=7$ मी
वर्गाकार लोहे की चद्दर का क्षेत्रफल $=(\text { भुजा })^{2}$
$=(7)^{2}=49$ वर्ग मीटर
वृत्त की त्रिज्या $=\frac{7}{2}$ मीटर
$\begin{aligned} \therefore \quad \text { वृत्ताकार टुकड़े का क्षेत्रफल } &=\pi \times(\text { त्रिज्या })^{2} \\ &=\pi \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \\ &=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \\ &=\frac{77}{2}=38.5 \text { वर्ग मीटर } \end{aligned}$
अब सम्मूर्ण वर्ग में शेष बचे भाग का क्षेत्रफल $=$ वर्ग का क्षेत्रफल - वृत्ताकार टुकड़े का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=49-38.5 \\&=10.5 \text { वर्ग मीटर। }\end{aligned}$
प्रश्न 9.
एक आयत तथा ऊपर की ओर उसकी चौड़ाई वाली भुजा पर बने हुए अर्द्धवृत्त की आकार में हमारे स्कूल का मुख्य दरवाजा है। दरवाजे की चौड़ाई 4 डेसीमी और सबसे अधिक ऊँचाई 10 डेसीमी है। दरवाजे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : दरवाजे की चौड़ाई $=$ अर्द्धवृत्ताकार भाग का व्यास $=4$ डेसीमी
(IMAGE TO BE ADDED)
अर्थात् अर्द्धवृत्ताकार भाग की त्रिज्या $=2$ डेसीमी
$\therefore \quad$ अर्द्ध वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \pi \times(2)^{2}$
$=\frac{44}{7}$ वर्ग डेसीमी
अब आयताकार भाग की लम्बाई $=10-2=8$ डेसीमी.
और चौड़ाई $=4$ डेसीमी.
$\begin{aligned} \therefore \quad \text { आयताकार भाग़ का क्षेत्रफल } &=\text { लम्बाई } \times \text { चौड़ाई } \\ &=8 \times 4 \\ &=32 \text { वर्ग डेसीमी. } \end{aligned}$
अतः दरवाजे का क्षेत्रफल $=$ अर्द्धवृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल $+$ आयता'कार भाग का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{44}{7}+32 \\&=6.29+32\end{aligned}$
$=38.29$ वर्ग डेसीमी.।
प्रश्न 10.
गुलाब के पौधे की एक क्यारी दिये हुए चित्र के समान है। चित्र में एक वर्ग की प्रत्येक भुजा पर एक अर्द्धवृत्त बना हुआ है। वर्ग की भुजा 21 मीटर है। यदि प्रत्येक गुलाब के पौधे के लिए 6 वर्ग मीटर स्थान की आवश्यकता' हो, तो पौधों की संख्या बताइए।
हल : $\text { वर्ग की भुजा }=\text { अर्द्धवृत्त का व्यास }$
$=21 \text { मीटर }$
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अर्द्धवृत्त की त्रिज्या $=\frac{21}{2}$ मीटर
$=10.5$ मीटर
एक अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5$
$=173.25$ वर्ग मीटर
इसलिए चार अर्द्धवृतों के क्षेत्रफल $=4 \times 173.25$ वर्ग मी. $=693$ वर्ग मीटर
वर्ग का क्षेत्रफल $=(\text { भुजा })^{2}=(21)^{2}=441$ वर्ग मीटर
पूरी क्यारी का क्षेत्रफल $=(693+441)$ वर्ग मी $=1134$ वर्ग मीटर
पौधों की संख्या $=\frac{1134}{6}=189$.
प्रश्न 11.
चाँदी की चादर 5 सेमी लम्बी और 2 सेमी चौड़ी है। इसमें $0.5$ सेमी व्यास के वृत्त जैसे टुकड़े के बटन बनाने के लिए काटे गए है। बताइए कुल कितने बटन बनाए जा सकते हैं ?
(IMAGE TO BE ADDED)
हल : चाँदी की चादर की लम्बाई $=5$ सेमी
और चौड़ाई $=2$ सेमी
बटन के प्रत्येक टुकड़े का व्यास $=0.5$ सेमी
पंक्ति में लम्बाई के सापेक्ष बटनों की संख्या $=\frac{5}{0.5}=10$
स्तम्भ में चौड़ाई के सापेक्ष बटनों की संख्या $=\frac{2}{0.5}=4$
चादर में कुल बटनों की संख्या $10 \times 4=40$.
प्रश्न 12.
निम्नलिखित' चित्र में छायादार भाग में एवं बीच में दो वृत्तों से बने सफेद भाग में घास लगायी गई है। घास लगाने का व्यय $0.35$ रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।
(IMAGE TO BE ADDED)
हल : चूँकि छायादार भाग अर्द्धवृत्ताकार है, जिसकी त्रिज्या $=3$ मी
$\therefore \quad$ छायादार भाग का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 9$
छायादार भाग में घास लगवाने का व्यय $=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 9 \times 0.35$
$=\text { 辰 } 4.95$
चूँकि एक आयत् दिया गया है, जिसकी लम्बाई $=3+3=6$ मी तथा चौड़ाई $=3$ मी.
आयत में दिए गए छायादार भाग का क्षेत्रफल $=$ आयत का क्षेत्रफल - दो चतुर्थाशों में क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=18-\frac{2}{4} \times \frac{22}{7} \times 9=18-\frac{99}{7} \\&=\frac{27}{7} \text { वर्ग मी }\end{aligned}$
आयत वाले भाग का व्यय $=\frac{27}{7} \times 0.35=$ र $1.35$
कुल व्यय $=$ ई $4.95+$ ई $135=$ ७ $6.30$.
प्रश्न 13.
आकृति में, 56 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार लॉन $\mathrm{ABCD}$ के दो ओर बनी हुई दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ दर्शाई गई हैं। यदि प्रत्येक वृत्ताकार क्यारी का केन्न्र लॉन के विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु $\mathbf{O}$ है, तो वर्गाकार लॉन तथा फूलों की क्यारियों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात कीजिए।
$\left(\pi=\frac{22}{7}\right.$ का प्रयोग कीजिए।
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हल : वर्गाकार लॉन $\mathrm{ABCD}$ का क्षेत्रफल $=56 \times 56$ वर्ग मीटर
माना $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=x$ मीटर
अतः $x^{2}+x^{2}=56^{2}$
या $2 x^{2}=56 \times 56$
या $x^{2}=28 \times 56$
अब त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $=\frac{90}{360} \times \pi x^{2}=\frac{1}{4} \times \pi x^{2}$
$=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 56 \text { वर्ग मीटर }$
साथ ही $\triangle \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{4} \times 56 \times 56$ वर्ग मीटर (जहाँ $\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$ )
इसलिए
$\text { क्यारी } \mathrm{AB} \text { का क्षेत्रफल }=\left(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 28 \times56-\frac{1}{4} \times 56 \times 56\right) \text { वर्ग मीटर }$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{4} \times 28 \times 56\left(\frac{22}{7}-2\right) \\&=\frac{1}{4} \times 28 \times 56 \times \frac{8}{7}\end{aligned}$
इसी प्रकार, दूसरी क्यारी का क्षेत्रण्न $=\frac{1}{4} \times 28 \times 56 \times \frac{8}{7}$ वर्ग मीटर
अतः
$\begin{aligned} \text { सम्पूर्ण क्षेत्रफल } &=\left(56 \times 56+\frac{1}{4} \times 28 \times 56 \times \frac{8}{7}+\frac{1}{4} \times 28 \times 56 \times \frac{8}{7}\right) \\ &=28 \times 56\left(2+\frac{2}{7}+\frac{2}{7}\right) \\ &=28 \times 56 \times \frac{18}{7} \mathrm{~m}^{2}=4032 \text { वर्ग मीटर । } \end{aligned}$
प्रश्न 14.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र $\mathrm{O}$ वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों
की त्रिज्याएँ' क्रमशः 7 सेमी. तथा 14 सेमी. हैं तथा $\angle \mathrm{AOC}=40^{\circ}$ है।
(IMAGE TO BE ADDED)
हल : केन्द्र $\mathrm{O}$ वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः
$\mathrm{OA}=14 \text { सेमी. }$
तथा $\mathrm{OB}=7$ सेमी.
त्रिज्यखण्ड का कोण $=40^{\circ}$
$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफ
$=$ त्रिज्यखण्ड $\mathrm{AOC}$ का क्षेत्रफल - त्रिज्यखण्ड $\mathrm{BOD}$ का क्षेत्रफल
$=\frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14-\frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$=\frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14-\frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$=\frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7[2 \times 2-1]$
$=\frac{154}{9} \times 3=\frac{154}{3}=51.33$ वर्ग सेमी.
प्रश्न 15.
आकृति में, $\mathrm{ABCD}$ भुजा 14 सेमी. वाला एक वर्ग है। $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ और $\mathrm{D}$ को केन्द्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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हल : $\because$ ABCD एक वर्ग निर्मित है जिसकी प्रत्येक भुजा $=14$ सेमी.
$\begin{aligned} \text { वर्ग } \mathrm{ABCD} \text { का क्षेत्रफल } &=(\text { भुजा })^{2} \\ &=(14)^{2} \end{aligned}$
$=196$ वर्ग सेमी.
अब
$\begin{aligned}\text { चारों चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल } &=\frac{1}{4} \times 4 \pi r^{2} \\&=\frac{22}{7} \times 7 . \times 7 \\&=154 \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$
छायांकित' भाग का क्षेत्रफल $=$ वर्ग $\mathrm{ABCD}$ का क्षेत्रफल - चारों चतुर्थांश का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=196-154 \\&=42 \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल 42 वर्ग सेमी. है। उत्तर
प्रश्न 16.
एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिजाइन' बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 सेमी. है। (देखिए आकृति में)। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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हल : $\because$ दिया गया वर्गाकार जिसकी एक भुजा $\mathrm{AB}$ है। भुजा $\mathrm{AB}$ पर तीन वृत्त एक साथ दिए हैं।
$\because \quad$ एक वृत्त का व्यास $=7 \times 2=14$ सेमी.
$\therefore \quad$ तीनों वृत्तों के व्यास $=14 \times 3=42$ सेमी.
अतः : भुजा, $\mathrm{AB}=42$ सेमी.
अब $\mathrm{ABCD}$ वर्ग का क्षेत्रफल $=42 \times 42=1764$ वर्ग सेमी.
रूमाल में 9 वृत्त हों, तब
$\begin{aligned} 9 \text { वृत्तों का क्षेत्रफल } &=9 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \\ &=9 \times 154=1386 \text { वर्ग सेमी. } \end{aligned}$
रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल
$=(1764-1380)$ वर्ग सेमी.
$=378$ वर्ग सेमी.।
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