प्रश्नाबलीं 14 (B)
प्रश्न 1.
नीचे की सारणी में 2010 में उच्चतर माध्यमिक विद्यालयों में मंजूर किये गये अध्यापक पदों की संख्या का बारम्बारता बंटन दिया गया है :
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { मंजूर किये गये अध्यापक पद } & \text { विद्याल्यों की संख्या } \\\hline 6-10 & 899 \\11-15 & 1149 \\16-20 & 1553 \\21-25 & 1464 \\26-30 & 1307 \\31-35 & 1003 \\36-40 & 833 \\41-45 & 642 \\46-50 & 440 \\\hline \text { कुल योग } & 9290 \\\hline\end{array}$
प्रति उच्चतर माध्यमिक विद्यालय में मंजूर किये गये अध्यापक पदों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए। हल :
$\begin{aligned}&\text { हल : }\\&\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text { वर्ग अन्तराल } & \text { मध्यमान } & \text { बारम्बरता } & \\& x_{i} & f_{i} & d_{i}=x_{i}-a & u_{i}=\frac{d_{i}}{h} & f_{i} \times u_{i} \\\hline 6-10 & 8 & 899 & -20 & -4 & -3596 \\11-15 & 13 & 1149 & -15 & -3 & -3447 \\16-20 & 18 & 1553 & -10 & -2 & -3106 \\21-25 & 23 & 1464 & -5 & -1 & -1464 \\26-30 & a=28 & 1307 & 0 & 0 & 0 \\31-35 & 33 & 1003 & 5 & 1 & 1003 \\36-40 & 38 & 833 & 10 & 2 & 1666 \\41-45 & 43 & 642 & 15 & 3 & 1926 \\46-50 & 48 & 440 & 20 & 4 & 1760 \\\hline \text { कुल योग } & & \Sigma f_{i}=9290 & & & \Sigma f_{i} u_{i}=-5258 \\\hline\end{array}\end{aligned}$
हम जानते हैं कि :
$\begin{aligned}\bar{x} &=a+\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times h \\a &=28 \text { और } h=5 \\\bar{x} &=a+\bar{u} h \\\bar{x} &=28+\left(\frac{-5228}{9290}\right) \times 5 \\&=28-2.83 \\&=25.17 .\end{aligned}$
प्रश्न 2.
$\begin{aligned}&\text { निम्नलिखित सारणी में किसी जनपद के कॉलेजों में प्रवेश दिये गये छात्रों की संख्या दी गई है : }\\&\begin{array}{|c|c|}\hline \text { छात्रों की संख्या } & \text { विद्यालयों की संख्या } \\\hline 60-79 & 18 \\80-99 & 24 \\100-119 & 26 \\120-139 & 32 \\140-159 & 25 \\160-179 & 19 \\180-199 & 16 \\\hline\end{array}\end{aligned}$
प्रति विद्यालय प्रविष्ट छात्रों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text { छात्रों की संख्या } & \begin{array}{c}\text { मध्यमान } \\\left(x_{i}\right)\end{array} & \begin{array}{c}\text { विद्यालयों की } \\\text { संख्या }\left(f_{i}\right)\end{array} & d_{i}=x_{i}-z a & u_{i}=\frac{d_{i}}{h} & f_{i} \times u_{i} \\\hline 60-79 & 69.5 & 18 & -60 & -3 & -54 \\80-99 & 89.5 & 24 & -40 & -2 & -48 \\100-119 & 109.5 & 26 & -20 & -1 & -26 \\120-139 & 129.5=a & 32 & 0 & 0 & 0 \\140-159 & 149.5 & 25 & 20 & 1 & 25 \\160-179 & 169.5 & 19 & 40 & 2 & 38 \\180-199 & 189.5 & 16 & 60 & 3 & 48 \\\hline \text { कुल योग } & & \Sigma f_{i}=160 & & & \Sigma f_{i} u_{i}=-17 \\\hline\end{array}$
हम जानते हैं कि :
$\bar{x}=a+\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times h$
$a=129.5 \text { तथा } h=20$
$\begin{aligned}\bar{x} &=129.5+\left(\frac{-17}{160}\right) \times 20 \\&=129.5-2.125 \\&=127.38 .\end{aligned}$
प्रश्न 3.
किसी पुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्त धीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text { आमों की संख्या } & 50-52 & 53-55 & 56-58 & 59-61 & 62-64 \\\hline \text { पेटियों की संख्या } & 15 & 110 & 135 & 115 & 25 \\\hline\end{array}$
एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है ?
हल : प्रश्न में दिए आंकड़े सतत् नहीं हैं, अतः हमें सर्वप्रथम दी गई|वर्ग सीमाओं को सतत् रूप में निम्न प्रेकार से बनाना होगा :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \begin{array}{c}\text { आमों की } \\\text { संख्या }\end{array} & \begin{array}{c}\text { पेटियों की } \\\text { संख्या }\left(f_{i}\right)\end{array} & \begin{array}{c}\text { मध्य-बिन्दु } \\\left(x_{i}\right)\end{array} & \begin{array}{c}\text { विचलन } \\d_{i}=x_{i}-\mathbf{A}\end{array} & f_{i} \times d_{i} \\\hline 49.5-52.5 & 15 & 51 & -6 & -90 \\52.5-55.5 & 110 & 54 & -3 & -330 \\55.5-58.5 & 135 & 57(\mathrm{~A}) & 0 & 0 \\58.5-61.5 & 115 & 60 & 3 & 345 \\61.5-64.5 & 25 & 63 & 6 & 150 \\\hline \text { योग } & 400 & & & 75 \\\hline\end{array}$
$\Sigma f_{i}=400, \Sigma f_{f} d_{i}=75$ तथा $\mathrm{A}=57$ हो, तो
आमों की माध्य संख्या, $\bar{x}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{t}}$
$\begin{aligned}&=57+\frac{75}{400} \\&=57+0.1875 \\\bar{x} &=57.1875\end{aligned}$
अतः आमों की माध्य संख्या $57.19$ हैं।
प्रश्न 4.
निम्नलिखित सारणी में किसी वर्ष की छ्याध्यमिक विद्यालयों के अध्यापकों की संख्या का बारम्बारता बंटन दिया गया है। उस वर्ष की प्रति माध्यमिक विद्यालय' में अध्यापकों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { अध्यापकों की संख्या } & \text { मा. वि की संख्या } \\\hline 6-10 & 950 \\11-15 & 1075 \\16-20 & 1660 \\21-25 & 1500 \\26-30 & 1480 \\31-35 & 1200 \\36-40 & 1085 \\41-45 & 650 \\46-5 . & .400 \\\hline\end{array}$
$\begin{aligned}&\text { हल : }\\&\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text { वर्ग अन्तराल } & \begin{array}{c}\text { मध्यमान } \\\left(x_{i}\right)\end{array} & \begin{array}{c}\text { बारम्बारता } \\\left(f_{i}\right)\end{array} & d_{i}=x_{i}-a & u_{i}=\frac{d_{i}}{h} & f_{i} \times u_{i} \\\hline 6-10 & 8 & 950 & -20 & -4 & -3800 \\11-15 & 13 & 1075 & -15 & -3 & -3225 \\16-20 & 18 & 1660 & -10 & -2 & -3320 \\21-25 & 23 & 1500 & -5 & -1 & -1500 \\26-30 & 28=a & 1480 & 0 & 0 & 0 \\31-35 & 33 & 1200 & 5 & 1 & 1200 \\36-40 & 38 & 1085 & 10 & 2 & 2170 \\41-45 & 43 & 650 & 15 & 3 & 1950 \\46-50 & 48 & 400 & 20 & 4 & 1600 \\\hline \text { कुल योग } & & \Sigma f_{i}=10,000 & & & \Sigma f_{i} u_{i}=-4925 \\\hline\end{array}\end{aligned}$
$\begin{aligned} \bar{x} &=a+\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}} \times h \\ &=28+\left(\frac{-4925}{10,000}\right) \times 5 \\ &=28-2.4625 \\ &=25.5 \end{aligned}$
प्रश्न 5.
$\begin{aligned}&\text {किसी फैक्टरी के } 50 \text { श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए : }\\&\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \begin{array}{c}\text { दैनिक मजदूरी } \\\text { (रुपयों में) }\end{array} & 100-120 & 120-140 & 140-160 & 160-180 & 180-200 \\\hline \begin{array}{c}\text { श्रमिकों की } \\\text { संख्या }\end{array} & 12 & 14 & 8 & 6 & 10 \\\hline\end{array}\end{aligned}$
एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \begin{array}{c}\text { दैनिक मजदूरी } \\\text { (रुपयों में ) }\end{array} & \begin{array}{c}\text { श्रमिकों की संख्या } \\\left(f_{i}\right)\end{array} & \begin{array}{c}\text { मध्य-बिन्दु } \\\left(x_{i}\right)\end{array} & \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \times \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}} \\\hline 100-120 & 12 & 110 & 1,320 \\120-140 & 14 & 130 & 1,820 \\140-160 & 8 & 150 & 1,200 \\160-180 & 6 & 170 & 1,020 \\180-200 & 10 & 190 & 1,900 \\\hline \text { योग } & 50 & & 7,260 \\\hline\end{array}$
$\Sigma f_{i}=50$ तथा $\Sigma f_{i} x_{i}=7,260$ हो, तो
$\begin{aligned}\bar{x} &=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{t}} \\&=\frac{7260}{50} \\&=₹ 145.20 .\end{aligned}$
प्रश्न 6.
वायु में सल्फर डाइ-ऑक्साइड $\left(\mathrm{SO}_{2}\right)$ की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :
$\begin{array}{|c|c|}\hline \mathrm{SO}_{2} \text { की सान्द्रता } & \text { बारम्बारता } \\\hline 0.00-0.04 & 4 \\0.04-0.08 & 9 \\0.08-0.12 & 9 \\0.12-0.16 & 2 \\0.16-0.20 & 4 \\0.20-0.24 & 2 \\\hline\end{array}$
वायु में $\mathrm{SO}_{2}$ की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \mathrm{SO}_{2} \text { की सान्द्रता } & \text { बारम्बारता }\left(f_{i}\right) & \text { मध्य-बिन्दु}\left(x_{i}\right) & f_{i} \times x_{i} \\\hline 0.00-0.04 & 4 & 0.02 & 0.08 \\0.04-0.08 & 9 & 0.06 & 0.54 \\0.08-0.12 & 9 & 0.10 & 0.90 \\0.12-0.16 & 2 & 0.14 & 0.28 \\0.16-0.20 & 4 & 0.18 & 0.72 \\0.20-0.24 & 2 & 0.22 & 0.44 \\\hline \text { योग } & 30 & & 2.96 \\\hline\end{array}$
$\mathrm{SO}_{2}$ की सान्द्रता का माध्य, $x=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$
$=\frac{2.96}{30}$
$=0.099$ भाग प्रति मिलियन
अतः वायु में $\mathrm{SO}_{2}$ की सान्द्रता का माध्य $0.099$ भाग प्रति मिलियन है।
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