प्रश्नाबलीं 14 (D)
प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text { आयु (वर्षों में) } & 5-15 & 15-25 & 25-35 & 35-45 & 45-55 & 55-65 \\\hline \text { रोगियों की संख्या } & 6 & 11 & 21 & 23 & 14 & 5 \\\hline\end{array}$
उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक श्ञात कीजिए।'
हल : सर्वप्रथम बहुलक के लिए सारणी
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { आयु (वर्षों में) } & \text { रोगियों की संख्या (बारम्बारता } \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\text { ) } \\\hline 5-15 & 6 \\15-25 & 11 \\25-35 & 21\left(f_{1}\right) \\35-45 & 23(f) \\45-55 & 14\left(f_{2}\right) \\55-65 & 5 \\\hline \text { योग } & \Sigma f_{i}=80 \\\hline\end{array}$
यहाँ पर अधिकतम बारम्बारता वाला पद,
f=23
अधिकतम बारम्बारता वाले पद की वर्ग सीमा
=35-45
$अतः$l_{1}=35 \text { तथा } l_{2}=45$
अधिकतम बारम्बारता के ठीक ऊपर तथा ठीक नीचे की बारम्बारताएँ
क्रमशः $f_{1}=21 \text { तथा } f_{2}=14$
और
$\begin{aligned}h &=l_{2}-l_{1}=45-35=10 . \\\begin{aligned}\text { बहुलक } &=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=35+\left(\frac{23-21}{2 \times 23-21-14}\right) \times 10 \\&=35+\left(\frac{2 \times 10}{46-35}\right) \\&=35+\frac{20}{11}=35+1.8=36.8 .\end{aligned}\end{aligned}$
प्रश्न 2.
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या } & \text { राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या } \\\hline 15-20 & 3 \\20-25 & 8 \\25-30 & 9 \\30-35 & 10 \\35-40 & 3 \\40-45 & 0 \\45-50 & 0 \\50-55 & 2 \\\hline\end{array}$
$\begin{aligned}&\text { हल : }\\&\begin{array}{|c|c|}\hline \text { प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या } & \text { राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या }\left(f_{i}\right) \\\hline 15-20 & 3 \\20-25 & 8 \\25-30 & 9\left(f_{1}\right) \\30-35 & 10(f) \\35-40 & 3\left(f_{2}\right) \\40-45 & 0 \\45-50 & 0 \\50-55 & 2 \\\hline \text { योग } & 35 \\\hline\end{array}\end{aligned}$
बहुलक ज्ञात करने हेतु $f=10, f_{1}=9$ तथा $f_{2}=3$
अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 30 - 35 है।
अर्थात् {1}=30 \text { तथा } l_{2}=35$
∴$h=l_{2}-l_{1}=35-30=5$
$\begin{aligned}\text { बहुलक } &=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=30+\left(\frac{10-9}{2 \times 10-9-3}\right) \times 5 \\&=30+\frac{1 \times 5}{20-12} \\&=30+\frac{5}{8}=30+0.625=30.625\end{aligned}$
प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घष्टों में) की सूचना देते हैं:
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}\hline \begin{array}{l}\text { जीवन काल } \\\text { (घष्टों में) }\end{array} & 0-20 & 20-40 & 40-60 & 60-80 & 80-100 & 100-120 \\\hline \text { बारम्बारता } & 10 & 35 & 52 & 61 & 38 & 29 \\\hline\end{array}$
उपकरणों का बहलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
$\begin{aligned}&\text { हल : दी गयी सारणी }\\&\begin{array}{|c|c|}\hline \text { जीवन काल (घण्टों में) } & \text { बार्बारता } \\\hline 0-20 & 10 \\20-40 & 35 \\40-60 & 52\left(f_{1}\right) \\60-80 & 61(f) \\80-100 & 38\left(f_{2}\right) \\100-120 & 29 \\\hline\end{array}\end{aligned}$
दी गयी सारणी में अधिकतम बारम्बारता $f=61, f_{1}=52, f_{2}=38$
$\because$ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग $60-80$ है।
$\therefore \quad l_{1}=60$ तथा $l_{2}=80$
$\begin{aligned} h &=l_{2}-l_{1} \\ &=80-60=20 \\ \text { बहुलक } &=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\ &=60+\left(\frac{61-52}{2 \times 61-52-38}\right) \times 20 \\ &=60+\frac{9 \times 20}{122-90} \\ &=65.625 \end{aligned}$
अतः उपकरणों का बहुलक जीवनकाल $65.625$ घण्टे होगा। उत्तर
प्रश्न 4.
दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्तम बल्लेबाजों द्वारा एकविवसीय अंतरोष्ट्रीय क्रेकेट मेचां में बनाए गए रनों को दर्शाता है :
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { बनाए गए रन } & \text { बल्लेबाजों की संख्या } \\\hline 3000-4000 & 4 \\4000-5000 & 18 \\5000-6000 & 9 \\6000-7000 & 7 \\7000-8000 & 6 \\8000-9000 & 3 \\9000-10000 & 1 \\10000-11000 & 1 \\\hline\end{array}$
इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { बनाए गए रन } & \text { बल्लेबाजों की संख्या } \\\hline 3000-4000 & 4\left(f_{1}\right) \\4000-5000 & 18(f) \\5000-6000 & 9\left(f_{2}\right) \\6000-7000 & 7 \\7000-8000 & 6 \\8000-9000 & 3 \\9000-10000 & 1 \\10000-11000 & 1 \\\hline\end{array}$
$\begin{aligned}\text { बहुलक } &=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=4000+\left(\frac{18-4}{2 \times 18-4-9}\right) \times 1000 \\&=4000+\frac{14 \times 1000}{36-13} \\&=4000+\frac{14000}{23} \\&=4000+608.7=4608.7\end{aligned}$
बहुलक $=4608.7$ रन है।
प्रश्न 5.
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए।
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { व्यय (रुपयों में) } & \text { परिवारों की संख्या } \\\hline 1000-1500 & 24 \\1500-2000 & 40 \\2000-2500 & 33 \\2500-3000 & 28 \\3000-3500 & 30 \\3500-4000 & 22 \\4000-4500 & 16 \\4500-5000 & 7 \\\hline\end{array}$
हल : बहुलक के लिए उपयुक्त सारणी
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { व्यय (रुपयों में }) & \text { परिवारों की संख्या }\left(f_{i}\right) \\\hline 1000-1500 & 24\left(f_{1}\right) \\1500-2000 & 40(f) \\2000-2500 & 33\left(f_{2}\right) \\2500-3000 & 28 \\3000-3500 & 30 \\3500-4000 & 22 \\4000-4500 & 16 \\4500-5000 & 7 \\\hline \text { योग } & 200 \\\hline\end{array}$
यहाँ अधिकतम बारम्बारता वाला पद $f=40, f_{1}=24$ तथा $f_{2}=33$ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग $1500-2000$ है।
$\therefore$ $l_{1}=1500$ तथा $l_{2}=2000$
तब$h=l_{2}-l_{1}=2000-1500=500$
अब
$\begin{aligned}\text { बहुलक } &=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=1500+\left(\frac{40-24}{2 \times 40-24-33}\right) \times 500\end{aligned}$
$=1500+\frac{16 \times 500}{80-57}$
$=1500+\frac{8000}{23}$
$=1500+347.83=₹ 1,847.83 .$
प्रश्न 6.
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट कीं और उ नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्था से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित ' है। ऐसे 100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँका का बहुलक ज्ञात कीजिए।
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { कारों की संख्या } & \text { बारम्बारता } \\\hline 0-10 & 7 \\10-20 & 14 \\20-30 & 13 \\30-40 & 12 \\40-50 & 20 \\50-60 & 11 \\60-70 & 15 \\70-80 & 8 \\\hline\end{array}$
हल :
$\begin{array}{|c|l|}\hline \text { कारों की संख्या } & \text { बारम्बारता } \\\hline 0-10 & 7 \\10-20 & 14 \\20-30 & 13 \\30-40 & 12\left(f_{1}\right) \\40-50 & 20(f) \\50-60 & 11\left(f_{2}\right) \\60-70 & 15 \\70-80 & 8 \\\hline\end{array}$'
सबसे अधिक बारम्बारता $f=20, f_{1}=12$ तथा $f_{2}=11$ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग $40-50$ है।
$\therefore\begin{gathered}l_{1}=40 \text { तथा } l_{2}=50 \\h=l_{2}-l_{1}=50-40=10 \\\text { बहुलक }=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h\end{gathered}$ अतः
$=40+\left(\frac{20-12}{2 \times 20-12-11}\right) \times 10$
$=40+\frac{8 \times 10}{40-23}$
$=40+\frac{80}{17}=40+4.7=44.7$
अतः आँकड़ों का बहुलक $44.7$ होगा।
प्रश्न 7.
नीचे दी सारणी 280 व्यक्तियों के वेतन दर्शाती है :
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { वेतन (हजार रुपये में) } & \text { व्यक्तियों की संख्या } \\\hline 5-10 & 49 \\10-15 & 133 \\15-20 & 63 \\20-25 & 15 \\25-30 & 6 \\30-35 & 7 \\35-40 & 4 \\40-45 & 2 \\45-50 & 1 \\\hline\end{array}$
इन आँकड़ों का माध्यक और बहुसक ज्ञात कीजिए।
हल :
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text { वेतन (हजार रुपये में) } & \text { व्यक्तियों की संख्या }(f) & \text { संचयी बारम्बारता } \\\hline 5-10 & 49 & 49 \\10-15 & 133 & 182 \\15-20 & 63 & 245 \\20-25 & 15 & 260 \\25-30 & 6 & 266 \\30-35 & 7 & 273 \\35-40 & 4 & 277 \\40-45 & 2 & 279 \\45-50 & 1 & 280 \\\hline & 280 & \\\hline\end{array}$
$=\frac{n}{2}$ वें पद का मान, जहाँ $n=$ बारंबारताओं का योग
$=\frac{280}{2}$ वें अर्थात् 140 वें पद का मान जो वर्ग अंतराल
$(10-15)$ में स्थित है, अर्थात् माध्यिका वर्ग $(10-15)$ है।
$\therefore$ माध्यक,$\mathrm{M}=\mathrm{L}_{1}+\left(\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\right)\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)$
$\because L_{1}=10, L_{2}=15, f=133, \frac{n}{2}=140, \mathrm{~F}=49$
$\begin{aligned} M &=10+\left(\frac{15-10}{133}\right)(140-49) \\ &=10+\frac{5}{133} \times 91 \\ &=10+\frac{455}{133} \\ &=10+3.42 \\ &=13.42 \text { या } ₹ 13.42 \times 1000 \\ &=₹ 13420 \end{aligned}$
बहुलक हेतु :
उपरोक्त' सारणी में अधिकतम बारंबारता वाला पद 133 है, जिसका वर्ग अंतराल 10 - 15 है, तब बहुलक वर्ग $=10-15$
वर्ग माप,$h=5, f_{1}=133, f_{0}=49, f_{2}=63$
$\begin{aligned} h &=5, f_{1}=133, f_{0}=49, f_{2}=63 \\ \begin{aligned} \text { बहुलक } &=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\ &=10+\left(\frac{133-49}{2 \times 133-49-63}\right) \times 5 \\ &=10+\left(\frac{84 \times 5}{266-112}\right) \\ &=10+\frac{420}{154} \\ &=10+2.73 \\ &=12.73 \text { या ₹ } 12.73 \times 1000 \\ &=₹ 12730 . \end{aligned}\end{aligned}$
No comments:
Post a Comment