प्रश्नावली 12 (B)
प्रश्न 1.
एक घड़ी की मिनट की सुई 7 सेमी लम्बी है। 3 बजकर 10 मिनट से 3 बजकर 20 मिनट के बीच इस सुई द्वारा घड़ी पर बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : स्पष्ट रूप से दिया है घड़ी की मिनट वाली सुई की लम्बाई $=7$ सेमी
अर्थात्
वृत्त की त्रिज्या, $r=7$ सेमी
घड़ी में 3 बजकर 10 मिनट से 3 बजकर 20 मिनट का समय दर्शाया गया है।
इसलिए
कुल मिनटों की संख्या $=10$
$\because 60$ मिनट में सुई द्वारा लगे कुल चक्करों की संख्या $=1$
$\therefore 10$ मिनटे में सुई द्वारा लगे कुल चक्करों की संख्या $=\frac{10}{60}$
अर्थात् 10 मिनट में सुई द्वारा बना कोण $=\frac{10}{60} \times 360^{\circ}=60^{\circ}$
अब सुई द्वारा 10 मिनट में बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$
$=60 \times(7)^{2} \times \frac{22}{7}$
$=25.67$ वर्ग सेमी। उत्तर
प्रश्न 2.
एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लम्बाई 14 सेमी. है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : स्पष्टतः घड़ी की मिनट वाली सुई की लम्बाई $=14$ सेमी. अर्थात्
वृत्त की त्रिज्या $r=14$ सेमी.
$\because 60$ मिनट में सुई द्वारा लगे कुल चक्करों की संख्या $=1$
$\therefore \quad 1$ मिनट में लगे चक्करों की संख्या $=\frac{1}{60}$
$\therefore \quad 5$ मिनट में कुल चक्करों की संख्या $=\frac{5}{60}$
अर्थात् 5 मिनट में सुई द्वारा बना कोण $=\frac{5}{60^{\circ}} \times 360^{\circ}=30^{\circ}$
अब सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल
$=\frac{\pi r^{2} 6}{360^{\circ}}$
$=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$
$=\frac{154}{3}$ वर्ग सेमी.
अतः सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल $\frac{154}{3}$ वर्ग सेमी. होगा ।
प्रश्न 3.
एक वृत्ताकार पहिया जब लुढ़काया जाता है, तो एक चक्कर में $5.5$ मी आगे बढ़ जाता है। उसका त्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : $\because$ एक चक्कर में चली गयी दूरी $=5.5$ मी
अर्थात $2 \pi=5.5$
$\begin{aligned} r &=\frac{5.5 \times 7}{2 \times 22} \\ &=\frac{7}{8} \text { मी } \end{aligned}$
अतः वृत्ताकार पहिए द्वारा घेरे गए स्थान का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\pi \times \frac{7}{8} \times \frac{7}{8} \\&=\frac{22}{7} \times \frac{7}{8} \times \frac{7}{8} \\&=\frac{77}{32}=2 \frac{13}{32} \text { वर्ग मीटर। }\end{aligned}$
प्रश्न 4.
6 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण $60^{\circ}$ है।
हल : माना एक वृत्त की त्रिज्या, $r=6$ सेमी.
और त्रिज्यखण्ड का कोण, $\theta=60^{\circ}$
निज्याखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi^{2}$
$\begin{aligned}&=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \\&=\frac{132}{7} \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$
अतः त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $\frac{132}{7}$ वर्ग सेमी. होगा।
प्रश्न 5.
$t$ त्रिज्या वाले वृत्त के वृत्तीय खण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात़ करें जो केन्द्र परे $120^{\circ}$ का कोण अन्तरित करता है।
हल : मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या, $\mathrm{OA}$ या $\mathrm{OB}=r$
(image to be added)
तथा $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$
$\therefore \quad$ वृत्तखण्ड' $\mathrm{ACB}$ का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखण्ड' $\mathrm{OACB}$ का क्षेत्रफल $-\triangle \mathrm{AOB}$ का क्षेत्रफल
$=\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}-\frac{1}{2} r^{2} \sin 120^{\circ}$
$=\frac{1}{3} \pi r^{2}-\frac{1}{2} r^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{1}{12} r^{2}(4 \pi-\mid 3 \sqrt{3})$ वर्ग मात्रक।
प्रश्न 6.
चित्र में, वृत्त $(O, r)$ के लघु चाप $P Q$ की अंश माप $=100^{\circ}$ है। दीर्घ चाप का मान रडियन में ज्ञात कीजिए।
(image to be added)
हल : दीर्घ चाप का मान $=360^{\circ}-100^{\circ}$
$\begin{aligned}&=260^{\circ} \\&=\frac{260^{\circ}}{180^{\circ}} \pi \\&=\frac{13 \pi}{9} \text { रेडियन। }\end{aligned}$
प्रश्न 7.
15 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर $60^{\circ}$ का कोण अन्तरित' करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi=3.14$ तथा $\sqrt{3}=1.73$ का प्रयोग कीजिए।)
हल : दिया है : वृत्त की त्रिज्या, $r=15$ सेमी.
जीवा द्वारा केन्द्र पर बना कोण, $\theta=60^{\circ}$
$\begin{aligned}\therefore \quad \text { संगत लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल } &=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta \\&=r^{2}\left[\frac{\pi \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin \theta\right] \\&=(15)^{2}\left[\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right] \\&=225\left[\frac{3.14}{6}-\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \\&=225\left[\frac{3.14}{6}-\frac{1.73}{4}\right] \\&=225\left[\frac{6.28-5.19}{12}\right] \\&=\frac{225 \times 1.09}{12}=\frac{245.25}{12}\end{aligned}$
$=20.4375 \text { वर्ग सेमी. }$
अतः संगत लघु वृत्तख ण्ड' का क्षेत्रफल $20.4375$ वर्ग सेमी. है।
$\begin{aligned}&=\pi r^{2}-20.4375 \\&=3.14 \times 225-20.4375 \\&=706.5-20.4375=686.0625 \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$
अतः : दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $686.0625$ वर्ग सेमी. है।
प्रश्न 8.
एक वृत्त का व्यास 16 सेमी है। इसकी एक जीवा $P Q$ केन्द्र पर $60^{\circ}$ का कोण बनाती है। इस प्रकार निर्मित दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : त्रिज्यखण्ड' OPXQ का क्षेत्रफल
$=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 8^{2}$
$\doteq \frac{32}{3} \pi$ सेमी
(image to be added)
$\begin{aligned} \text { समबाहु } \triangle O P Q \text { का क्षेत्रफल } &=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^{2} \\ &=16 \sqrt{3} \text { सेमी } \end{aligned}$
लघु वृत्तखण्ड' का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OPXQ}$ का क्षेत्रफल
- समबाहु $\triangle \mathrm{OPQ}$ का क्षेत्रफल
$=\frac{32}{3}-16 \sqrt{3}$
$=\frac{16}{3}(2 \pi-3 \sqrt{3})$ सेमी $^{2}$
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल
$=$ वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
$=\pi \times 8^{2}-\frac{16}{3}(2 \pi-3 \sqrt{3})$
$=64 \pi-\frac{32 \pi}{3}+16 \sqrt{3}$
$=\frac{160 \pi}{3}+16 \sqrt{3}$
$=\frac{16}{3}[10 \pi+3 \sqrt{3}]$ सेमी ${ }^{2} 1$
प्रश्न 9.
52 सेमी त्रिज्या के वृत्त के किसी त्रिज्यखण्ड' का परिमाप $16.4$ सेमी है। वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : त्रिज्या $O P=O Q=5.2$ सेमी
वृत्तखण्ड की लम्बाई $=$ वृत्तखण्ड $O P Q$ का परिमाप $-O P-O Q$
$\begin{aligned} l &=16.4-5.2-5.2 \\ &=16.4-10.4 \\ l &=6 \text { सेमी } \end{aligned}$
(image to be added)
अब वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} l \times r$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 6 \times 5.2 \\&=3 \times 5.2 \\&=15.6 \text { सेमी }\end{aligned}$
प्रश्न 10.
एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 मिमी. है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित' करता है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई,
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल।
(image to be added)
हल : (i) दिए गए वृत्ताकार ब्रूच का व्यास $d=35$ मिमी
तब त्रिज्या,
$r=\frac{35}{2} \text { मिमी }$
वांछित चाँदी के तार की लम्बाई $=$ परिधि $=\pi d$
$=\frac{22}{7} \times 35=110 \text { मिमी }$
अब 5 व्यासों की कुल लम्बाई $=35 \times 5=175$ मिमी.
अतः कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई
$\begin{aligned}&=110+175 . \\&=285 \text { मिमी. }\end{aligned}$
(ii) यहाँ प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का कोण $=\frac{360^{\circ}}{10}=36^{\circ}$
$\begin{aligned}\text { प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल } &=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}} \\&=\frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2} \times \frac{36^{\circ}}{360^{\circ}} \\&=\frac{22 \times 35}{2 \times 2 \times 2}=\frac{385}{4} \text { वर्ग मिमी. }\end{aligned}$
प्रश्न 11.
14 सेमी त्रिज्या के वृत्त की एक जीवां केन्द्र पर समकोण अन्तरित करती है। निम्न के मान ज्ञात कीजिए :
(i) लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
(ii) दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।
हल : (i) त्रिज्यखण्ड OPXQ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ &=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 14 \times 14 \\ &=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \\ &=154 \text { सेमी } \end{aligned}$
(image to be added)
समद्विबाहु $\triangle \mathrm{OPQ}$ का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2} \times O P \times O Q$
$=\frac{1}{2} \times 14 \times 14=98 \text { सेमी }^{2}$
तब लघु वृत्तखण्ड' का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OPXQ}$ का क्षेत्रफल
- समद्विबाहु $\triangle \mathrm{OPQ}$ का क्षेत्रफल
$=154-98=56$ सेमी
(ii) दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\text { वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल } \\&=\pi r^{2}-56 \\&=\frac{22}{7} \times 14 \times 14-56 .\end{aligned}$
$=22 \times 28-56$
$=616-56=560$ सेमी $^{2}$
अतः (i) लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=56$ सेमी $^{2}$
(ii) दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=560$ सेमी
प्रश्न 12.
आकृति में दो संकेन्द्रीय वृत्तों जिनकी त्रिज्याएँ 7 सेमी तथा 4 सेमी हैं, के त्रिज्यखण्ड विखाए गए हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\frac{22}{7}\right.$ प्रयोग करें $)$
(image to be added)
हल : छयांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $-$ त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OPQ}$ का
$=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times(7)^{2}-\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times(4)^{2}$
$=\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7-\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 16$
$=\frac{77}{3}-\frac{176}{21}$
$=\frac{539-176}{21}$
$=\frac{363}{21}=\frac{121}{.7}$
$=17.28$ सेमी $^{2}$
अतः छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=17.28 \text { सेमी । । }$
प्रश्न 13.
एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 सेमी. है।
हल : $\because$ वृत्त की परिधि, $2 \pi r=22$ सेमी.
$2 \times \frac{22}{7} \times r=22$
$r=\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2}$ सेमी.
$\therefore \quad$ वृत्त के चतुर्यांश का क्षेत्रफल $=\frac{1}{4} \pi r^{2}$ $\left[\theta=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\right]$
$=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$ $=\frac{77}{8} \cdot$ वर्ग सेमी.
अतः वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल. $-\frac{77}{8}$ वर्ग सेमी. होगा।
प्रश्न 14.
त्रिज्या 21 सेमी. वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर $60^{\circ}$ का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लम्बाई
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।
हल : $\because$ वृत्त की त्रिज्या, $r=21$ सेमी.
चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण, $\theta=60^{\circ}$
(i) चाप की लम्बाई, $l=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$
$\begin{aligned}&=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \\&=\frac{1}{3} \times 22 \times 3=22 \text { सेमी. }\end{aligned}$
अतः चाप की लम्बाई 22 सेमी है।
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \\&=11 \times 21=231 \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$
अतः चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड' का क्षेत्रफल 231 वर्ग सेमी. है
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta$
$=r^{2}\left[\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi-\frac{1}{2} \sin \theta\right]$
$=(21)^{2}\left[\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right]$
$=441\left[\frac{11}{21}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right]$
$=\left(231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}\right)$ वर्ग सेमी.
त्रिज्या 12 सेमी. वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर $120^{\circ}$ का कोण अन्तरित करती है। संगत
वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14$ तथा $\sqrt{3}=1.73$ का प्रयोग कीजिए।
हल : दिया है :वृत्त की त्रिज्या, $r=12$ सेमी.
जीवा द्वारा केन्द्र पर बना कोण, $\theta=120^{\circ}$
$\therefore \quad$ संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta$
$=r^{2}\left[\frac{\pi \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin \theta\right]$
$=(12)^{2}\left[\frac{3.14 \times 120^{\circ}}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin 120^{\circ}\right]$
$=144\left[\frac{3.14}{3}-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right]$
$=144\left[\frac{3.14}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right]$
$=144\left[\frac{3.14}{3}-\frac{1.73}{4}\right]$
$=444\left[\frac{12.56-5.19}{12}\right]$
$=\frac{144 \times 7.37}{12}$
$=12 \times 7.37=88.44$ वर्ग सेमी.
प्रश्न 16.
15 सेमी. भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 मी. लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए आकृति में)। ज्ञात कीजिए :
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 मी. लम्बी रस्सी के स्थान पर 10 मी. लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाए। $(\pi=3.14$ का प्रयोग कीजिए।
(image to be added)
हल : $\because$ वर्गाकार मैदान की भुजा $=15$ मी.
$\because$ रस्सी की माप वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगी।
$\therefore$ वृत्त की त्रिज्या, $r=5$ मी.
(i) $\because$ मैदान वर्गाकार है, इसलिए जीवा द्वारा बना कोण $=90^{\circ}$
$\because$ जहाँ घोड़ा घास चर सकता है, उस मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 25 \\&=\frac{78.5}{4}=19.625 \text { वर्ग सेमी.। }\end{aligned}$
(ii) यदि रस्सी की माप 5 मी. के स्थान पर 10 मी. कर दी जाए, तब वृत्त की त्रिज्या, $r=10$ मी.
10 मी. वाले मैदान जहॉँ घोड़ा घास चर सकता है, उस भाग का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 100 \\&=3.14 \times 25=78.50\end{aligned}$
$\therefore$ चरे जा सकने वाले दोनों क्षेत्रफलों की तुलना
$\begin{aligned}&=78.5-19.625 \\&=58.875 \text { वर्ग मी. }\end{aligned}$
प्रश्न 17.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति में) छतरी को 45 सेमी त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते-हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(image to be added)
हल : चूँकि छ्सरी के तान की माप छ्तरी की त्रिज्या के बराबर होगी।
अर्थात् $\quad$ छतरी की त्रिज्या, $r=45$ सेमी.
$\because$ दो तानों के बीच एक त्रिज्यखण्ड बनेगा तथा त्रिज्यखण्ड का प्रत्येक कोण
$=\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$
दो तानों के बीच बनने वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$
$\begin{aligned}&=\frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45 \\&=\frac{22 \times 2025}{56}=\frac{22275}{28}\end{aligned}$
अतः दो तानों के बीच का क्षेत्रफल $\frac{22275}{28}$ वर्ग सेमी।
प्रश्न 18.
किसी कार के दो वाइपर (wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 सेमी. है और $115^{\circ}$ के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल : चूँकि कार के वाइपर की पत्ती की लम्बाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।
अंर्था त्वृत्त की त्रिज्या, $r=25$ सेमी.
कार के वाइपर की पत्ती का घूमने वाली धुरी पर कोण
$=115^{\circ}$
अब दोनों पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ साफ हुआ क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=2 \times \text { एक पत्ती द्वारा साफ किया गया क्षे. } \\&=2 \times \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=2 \times \frac{115^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 25 \\&=\frac{23 \times 11 \times 625}{18 \times 7} \\&=\frac{158125}{126} \text { वर्ग सेमी.। }\end{aligned}$
प्रश्न 19.
जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों को चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) $80^{\circ}$ कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में $16.5$ किमी. की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। $(\pi=3.14$ का प्रयोग कीजिए।
हल : त्रिज्यखण्ड' का कोण, ' $\theta=80^{\circ}$
लाल रंग के प्रकाश फैलने की दूरी $=$ त्रिज्यखण्ड' की त्रिज्या
अर्थात् त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या, $r=16.5$ किमी
$\begin{aligned}\text { त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल } &=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{80^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 16.5 \times 16.5 \\&=\frac{1709.73}{9} \\&=189.97 \text { वर्ग किमी। }\end{aligned}$उत्तर
प्रश्न 20.
एक गोल मेजपोश पर छः समान डिजाइन बने हुए हैं जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 सेमी है, तो ई $0.35$ प्रति वर्ग सेमी की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। ( $\sqrt{3}=1.7$ का प्रयोग कीजिए।
(IMAGE TO BE ADDED)
हल : दिए गए मेजपोश की त्रिज्या,
$r=28$ सेमी.
$\because$ मेजपोशन कुल छः समान डिजाइनों से निर्मित है।
$\therefore$ जीवाओं द्वारा केन्द्र पर बना प्रत्येक कोण
$=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$
$\begin{aligned} 6 \text { वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल } &=6\left[\frac{\pi^{2} \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta\right]=6 \times r^{2}\left[\frac{\theta \pi}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin \theta\right] . \\ &=6 \times(28)^{2}\left[\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right] \\ &=6 \times 28 \times 28\left[\frac{11}{21}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \\ &=6 \times 28 \times 28\left[\frac{11}{21}-\frac{1.7}{4}\right] \\ &=6 \times 28 \times 28[44-35.7] \\ &=\frac{6 \times 28 \times 28 \times 8.3}{84} \end{aligned}$
$=56 \times 8.3=464.8$ वर्ग सेमी.
1 वर्ग सेमी. की लागत $=$ ई $0.35$
$464.8$ वर्ग सेमी की लागत $=0.35 \times 464.8=$ ई $162.68$
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